1、3.2.1直线的点斜式方程知识导图学法指导1.明确直线的点斜式和斜截式方程的适用条件，注意斜率不存在的情形2体会截距与距离的区别与联系3体会待定系数法在求直线方程中的应用4借助直线的点斜式和斜截式方程来研究直线之间的关系，如平行、垂直等高考导航1.由直线上一点和斜率求直线方程或由斜率和截距求直线方程是高考的常考点，分值5分2由直线方程求斜率和截距或判断直线的位置关系也是常考题型，以选择题、填空题为主，分值5分.知识点直线的点斜式、斜截式方程1直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示名称点斜式斜截式方程yy0k(xx0)ykx
2、b适用范围斜率存在2.直线l在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距经过点P0 (x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：斜率存在的直线，方程为yy0k(xx0)；斜率不存在的直线，方程为xx00，或xx0.1斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在2纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)直线y3m(x1)恒过定点(1,3)()(2)对于直线y2x3在y轴上截距为3.()(3)直线的点斜式方程也可写成k.()答案：(1)(2)(3)2直线l经过
3、点P(2，3)，且倾斜角45，则直线的点斜式方程是()Ay3x2By3x2Cy2x3 Dy2x3解析：45，ktan1，由点斜式得y3x2.答案：A32019合肥一中课时检测已知直线的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则该直线的方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解析：直线的倾斜角为60，则斜率为tan60，利用斜截式直接写出方程，即yx2.答案：D4直线方程为y22x2，则()A直线过点(2，2)，斜率为2B直线过点(2,2)，斜率为2C直线过点(1，2)，斜率为D直线过点(1，2)，斜率为2解析：把直线方程写成点斜式方程：y(2)2(x1)，故直线过点(1，2)，斜率为2.答案：
4、D类型一直线的点斜式方程例1根据下列条件写出直线的方程：(1)经过点A(1,4)，倾斜角为135；(2)经过点B(1，2)，且与y轴平行；(3)经过点C(1,2)，且与x轴平行【解析】(1)因为倾斜角为135，所以ktan1351，所以直线方程为y4(x1)，即xy30.(2)因为直线与y轴平行，所以倾斜角为90，所以直线的斜率不存在，所以直线方程为x1.(3)因为直线与x轴平行，所以倾斜角为0，所以y2.用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式方程表示直线方法归纳求直线的点斜式方程的步骤特别提醒斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与
5、x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为xx0.跟踪训练1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点解析：(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线的点斜式方程得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y(4)0(x3)(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2)当直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式求解类型二直线的斜截式方程例2求
6、下列直线的斜截式方程：(1)斜率为4，在y轴上的截距为7；(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；(3)求倾斜角为150，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程【解析】(1)直线的斜率为k4，在y轴上的截距b7，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y4x7.(2)直线的斜率为k0，在y轴上的截距为b2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y2.(3)直线的倾斜角为150，所以斜率为k，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b3或b3，故所求的直线方程为yx3或yx3.结合截距的几何意义明晰各题中直线的截距结合斜率写出直线的斜截式方程方法归纳直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜
7、截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断跟踪训练2根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解析：(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角为150，斜率ktan150.由斜截式方程可得y
8、x2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan60，直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况，讨论求解类型三直线方程的点斜式、斜截式的应用例3已知直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程【解析】显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k0)，则直线l的方程为y3k(x2)，令x0得y2k3；令y0得x2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，即(2k3)8，若(2k3)8，则整理得4k24k9
9、0，无解若(2k3)8，则整理得4k220k90，解得k或k，所以直线l的方程为x2y40或9x2y120.首先确定直线的斜率是否存在，再得出直线的点斜式方程，最后利用面积求直线方程方法归纳用斜率之前一定要说明斜率存在，否则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这是一个非常典型的分类讨论问题跟踪训练3已知斜率为2的直线l不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l的方程解析：依题意，设直线l的方程为y2xb，又直线l不过第四象限，b0.对于直线l，令x0，则yb；令y0，则x.由已知，可得|b|4，即|b|216，b4(负值舍去)故直线l的方程为y2x4.先设出直线的斜截式方
10、程，再利用面积求截距.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1方程yk(x2)表示()A通过点(2,0)的一切直线B通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线C通过点(2,0)的一切直线D通过点(2,0)且除去x轴的一切直线解析：方程yk(x2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率故选B.答案：B2斜率为1，且在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10 Dxy10解析：直线的斜截式方程为yx1，即xy10.故选B.答案：B3已知M，N，则过点M和N的直线方程为()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5解析：因为直线过M，N，所以直线方程为y
11、(x2)，即4x2y5，故选B.答案：B4已知直线l的方程为y(x1)，则l在y轴上的截距为()A9 B9C. D解析：由已知方程得yx9，故直线l在y轴上的截距为9.答案：B5倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10 B.xy0C.xy0 D.xy0解析：由于倾斜角为120，故斜率k.又直线过点(1,0)，所以方程为y(x1)，即xy0.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6已知直线l经过点P(2,5)，且斜率为 ，则直线l的方程为_解析：由点斜式得y5(x2)，即yx.答案：yx7已知直线l的倾斜角满足3sincos，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是_解
12、析：由3sincos，得tan，直线l的斜率为.又直线l在x轴上的截距为2，直线l与x轴的交点为(2,0)，直线l的方程为y0(x2)，即yx.答案：yx8若直线l的方程为ya(a1)(x2)，且l在y轴上的截距为6，则a_.解析：令x0得y(a1)2a6，得a.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(1,4)，倾斜角为60；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90；(3)经过原点，倾斜角为60；(4)经过点D(1,1)，与x轴平行解析：(1)直线斜率为tan60，所以直线方程为y4(x1)(2)直线斜率不存在，直线垂直于x轴，所以所求直线方
13、程为x4.(3)直线斜率为tan60，所以所求直线的方程为yx.(4)直线斜率为0，所以直线方程为y1.10已知ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A45，B45，求：(1)AB所在直线的方程；(2)AC边所在直线的方程解析：根据已知条件，画出示意图如图所示(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于45，所以kACtan451，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y11(x1)，即yx.能力提升(20分钟，40分)11已知kb0，k0，则直程ykxb的大致位置是()解析：方法一因为直线方程为ykxb
14、，且k0，kb0，即kb，所以令y0，得x1，所以直线与x轴的交点坐标为(1,0)只有选项B中的图象符合要求方法二由直线方程为ykxb，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为kb0，所以kb，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数选项A中，kb0，不符合要求；选项B中，k0，b0，符合要求；选项C中，b0，不符合要求；选项D中，k0，b0，kb0，不符合要求答案：B12如果对任何实数k，直线(3k)x2y1k0都过一定点A，那么点A的坐标是_解析：直线方程变为k(x1)3x2y10，当x1时，3x2y10，y2，所以直线过定点A(1,2)答案：(1,2)13斜率为3的直线l与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程解析：设l的方程为y3xb，令x0得yb，令y0得x，所以l与坐标轴围成的三角形的面积S，即6，解得b6，所以直线l的方程为y3x6或y3x6.14已知直线l：ykx2k1.(1)求证：直线l过定点；(2)当3x3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围解析：(1)由ykx2k1，得y1k(x2)由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)(2)设函数f(x)kx2k1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若3x3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即解得k1.所以实数k的取值范围是.