1、高一数学精英对抗赛（五）一选择题（共12小题,第1-6题每题5分，第7-12题每题6分） 1如图，从长方体ABCDA1B1C1D1的顶点A发出的一束光线，经平面A1B1C1D1反射后到达顶点C，记光线与平面A1B1C1D1的交点为M，若ABAD2，AA1，则三棱锥BAMC的外接球表面积为（）A8B10C16D2在三棱锥SABC中，SABC5，SBAC，SCAB，则该三棱锥外接球的表面积为（）A20B25C26D343已知体积为4的三棱锥OABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB6，BC2，AC4，则球O的表面积是（）A16B32C64D724三棱锥SABC的底面各棱长均为3，其外接球半径
2、为2，则三棱锥SABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为（）A2+B2C3D25如图为一个正方体ABCDA1B1C1D1与一个半球O1构成的组合体，半球O1的底面圆与该正方体的上底面A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形A1B1C1D1的中心重合将此组合体重新置于一个球O中（球O未画出），使该正方体的下底面ABCD的顶点均落在球O的表面上，半球O1与球O内切，设切点为P，若正四棱锥PABCD的表面积为，则球O的表面积为（）ABC12D96在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图1中的几何体ABCDA1B1C1D为一个“方亭”），图1是上底为
3、a，下底为b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若（约等于0.618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程x2+x10的一个实根，台体的体积公式为V（S+S），则（）ABCD7已知四棱锥SABCD的所有顶点都在半径为R（R为常数）的一个球面上，底面ABCD是正方形且球心O到平面ABCD的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球O的体积等于（）AB8C16D8在三棱锥ABCD中，ABC和BCD都是边长为2的正三角形，当三棱锥ABCD的表面积最大时，其内切球的半径是（）ABCD9在三棱锥PABC中，AB2，ACBC，若该三棱锥的体积
4、为，则其外接球表面积的最小值为（）A5BCD10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）ABCD11已知f（x）x（x+1）（x2+ax+b）的图象关于直线x1对称，则f（x）的值域为（）A4，+）BCD0，412已知函数f（x）x22x1，若函数g（x）f（|ax1|）+k|ax1|+4k（其中a1）有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A（，B（）C（D（）二 填空题（共2小题，每题5分）13若函数f（x）有3个零点，则实数a的取值范围是 14已知球O是正三棱锥P
5、ABC的外接球，AB3，PA2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 三解答题（共2小题，每题12分）15在 这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答已知_，若函数f（x）为奇函数，且函数yf（axm）的零点在区间（2，3）内，求m的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分16若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2R，有lgg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”：（
6、1）当g（x）x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（2）若f（x）是V形函数，且满足对任意xR，有f（x）2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由高一数学精英对抗赛（五）参考答案与试题解析1-5ACCCB 6-10 DAADD 11-12 BC 日期：202 6 解：设方亭的高为h，则，设m，则m2+m10，即m2+m1故选：D7 解：如图，可得AC2，则AB，此四棱锥的体积最大值V整理可得：R3+R2R19，即可得（R2）（R2+3R+5）0解得R2则球O的体积等于 ，故选：A 8 解：在三棱锥ABCD中，ABC和BCD都是边长为2的正三角形，三棱锥A
7、BCD的表面积为S，故当ABBD时，表面积最大，为，过A作BC的垂线，垂足为E，连接ED，三棱锥ABCD的体积为V，设内切球的半径为r，因为，所以故选：A9 解：AB2，ACBC，故底面三角形外接圆半径为 r1，当 时等号成立，故 ，故 h2，当 P 离平面 ABC 距离固定时，若点P在平面ABC的投影为ABC的外心时，此时外接球半径最小，此时，P 在平面 ABC 的投影为AB 中点 O1，设球心为 O，则 O 在 PO1上，故 R2（hR）2+12，化简得到 ，双勾函数 在2，+） 上单调递增，故 ，故故选：D10解：如图，作出截面D1MEFN，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，则
8、其体积为216，延长D1M交DA的延长线于点K，连接KE，延长D1N交DC的延长线于点L，连接FLE，F分别为棱AB，BC的中点，M，N分别为两棱的三等分点，AKCL3，AMCN2，则，正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81675，另外一部分的体积为21675141较小部分与较大部分的体积比值为故选：D11解：因为函数f（x）x（x+1）（x2+ax+b）有两个零点1，0，又因为其图象关于直线x1对称，所以2，3也是函数f（x）的两个零点，即f（x）x（x+1）（x2）（x3），所以f（x）（x22x）（x22x3），令tx22x（x1）211，则，所以，即f（x）的值域为故选：B12
9、解：令t|ax1|，t0，则函数g（x）f（|ax1|）+k|ax1|+4k可换元为：h（t）t2+（k2）t+4k1若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：t1（1，+），t2（0，1），此时，解得；t10，t2（0，1），此时由h（0）0，求得k，h（t），即，不合题意；t11，t2（0，1），此时由h（1）0，得k，h（t），解得，符合题意综上，实数k的取值范围为（故选：C二填空题（共2小题）13解：函数f（x），当x0，由f（x）2xx20，求得x2，或x4，故当x0，f（x）0有2个零点2和4故当x0时，f（x）只有1个零点故f
10、（x）e|x+2| 的图象和直线ya有且只有一个交点做出函数f（x）e|x+2| （x0）的图象，如图：f（x）在（，2上单调递减，在（2，0上单调递增，当x2时，f（x）取得最小值1，x0时，f（x）e2，故a1，或ae2，故答案为：1（e2，+）14解：设三棱锥的外接球半径为R，正三角形ABC的外接圆圆心为O，则OA，PO3，由OA2OO2+OA2可得：R23+（3R）2，解得R2，OO1，连接OE，OE，则OE，OE过E作球O的截面，则当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，即截面积最小此时截面半径r，故最小截面面积为：故答案为：三解答题（共2小题）15选：因为f（x）是奇函数，且定义域为
11、R，则f（0）a0，所以a1，则f（x）1，易知f（x）在R上是增函数，所以f（x）有唯一零点0，因为函数yf（xm）的零点在区间（2，3）内，所以xm0在（2，3）上有解，所以mx，即m（2，3），故实数m的取值范围为（2，3）；选：f（x）是奇函数，f（x）+f（x）log4（）+log4（）0，解得a1，f（x）log4（），易知f（x）在R上是增函数，f（x）有唯一零点0，函数yf（xm）的零点在区间（2，3）内，xm0在（2，3）上有解，mx，即m（2，3），故m的取值范围为（2，3）；选：当x0时，x0，f（x）log3（x+1），函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）0，解得
12、a1，f（x），易知f（x）在R上是增函数，f（x）有唯一零点0，函数yf（xm）的零点在区间（2，3）内，xm0在（2，3）上有解，mx，即m（3，2），故实数m的取值范围为（3，2）16(1） 证明：假设对任意x1，x2R，有lgg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），则lgg（x1+x2）lgg（x1）lgg（x2）lg（x1+x2）2+2lg（x12+2）lg（x22+2）0，（x1+x2）2+2（x12+2）（x22+2），x12x22+（x1x2）2+20，显然成立，假设正确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：f（x）是V形函数，对任意x1，x2
13、R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），对任意xR，有f（x）2，0f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2），f（x1+x2）f（x1）f（x2），lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），f（x）是对数V形函数函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）0，解得a1，f（x），易知f（x）在R上是增函数，f（x）有唯一零点0，函数yf（xm）的零点在区间（2，3）内，xm0在（2，3）上有解，mx，即m（3，2），故实数m的取值范围为（3，2）16(1） 证明：假设对任意x1，x2R，有lgg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），则lgg（x1+x2）lgg（x1）lgg（x2）lg（x1+x2）2+2lg（x12+2）lg（x22+2）0，（x1+x2）2+2（x12+2）（x22+2），x12x22+（x1x2）2+20，显然成立，假设正确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：f（x）是V形函数，对任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），对任意xR，有f（x）2，0f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2），f（x1+x2）f（x1）f（x2），lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），f（x）是对数V形函数