1、第三课时三个正数的算术几何平均不等式基础达标1.若实数x、y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是A.1B.2C.3 D.4解析由x2y2得xy，xyx2x2x233.当且仅当x2，即x1时取等号.故选C.答案C2.设x，y，zR且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是A.(，lg 6 B.(，3lg 2C.lg 6，) D.3lg 2，)解析xyz6，63，xyz8，lg xlg ylg zlg(xyz)lg 83lg 2.故选B.答案B3.若ab0，则a的最小值为A.6 B.9C. D.解析aabb36，当且仅当abb，即a4，b2时取等号，故选A.答案A4.函数y4sin
2、2xcos x的最大值为_.解析y216sin2xsin2xcos2x8(sin2xsin2x2cos2x)88，y2，当且仅当sin2x2cos2x，即tan x时，取等号.ymax.答案5.已知a0，b0，ab1，求证：9.证明ab1左边1133525229右边.当且仅当ab时取“”号.9.能力提升1.若x0，则4x的最小值是A.9 B.3 C.13D.不存在解析x0，4x2x2x3，当且仅当2x，即x时等号成立.答案B2.若正数x，y满足xy24，则x2y的最小值为A.6 B.3 C.6 D.不存在解析xy24，x0，y0，x.x2y2yyy33.当且仅当xy时，等号成立，此时x2y的最
3、小值为3.答案B3.已知a，b，c为正数，则有A.最小值3 B.最大值3C.最小值2 D.最大值2答案A4.已知a，b，cR，x，y，z，则A.xyz B.yxzC.yzx D.zyx答案B5.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是A.V B.VC.V D.V答案B6.已知xR，有不等式：x2，x3，.启发我们可以推广为：xn1(nN)，则a的值为A.nn B.2n C.n2 D.2n1答案A7.已知x，y，zR，xyzP，xyzS.给出下列命题：如果S是定值，那么当且仅当xyz时，P的值最大；如果S是定值，那么当且仅当xyz时，P的值最小；如果P是定值，那么当且仅当xyz时，S
4、的值最大；如果P是定值，那么当且仅当xyz时，S的值最小.其中正确的命题为_(写出序号即可).答案8.设ab0，则a2的最小值是_.答案49.为锐角，ysin cos2的最大值是_.答案10.甲、乙两人同时从A地出发走向B地，甲先用的时间以速度p行走，再用的时间以速度q行走，最后用的时间以速度r行走；乙在前的路程用速度p行走，中间的路程用速度q行走，最后的路程用速度r行走(pqr)，问甲、乙两人谁先到达B地，为什么？解析设A，B两地间的距离为s(s0)，甲从A到B所用的时间为t1，乙从A到B所用的时间为t2，由题意，得spqr，t1，t2pqr.t2st1.pqr，“”不成立.t1t2，甲先到
5、B地.11.设正实数x，y，z满足x2yz1，求的最小值.解析因为正实数x，y，z满足x2yz1，所以112 7，当且仅当，即xy，yz时，取等号.所以的最小值为7.12.已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c26，并确定a，b，c为何值时，等号成立.证明证法一因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以9(abc).故a2b2c23(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立.当且仅当abc时，式和式等号成立.当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立.即当且仅当abc3时，原式等号成立.证法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c2abbcac3336.所以原不等式成立。当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立.即当且仅当abc3时，原式等号成立.