1、本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。第卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知复数，且（是虚数单位），则（ ）A B或 C D或【知识点】复数的乘法运算，复数相等的条件.【答案解析】 D 解析 ：解：根据题意得： 解得或所以选D.【思路点拨】利用复数的乘法运算，复数相等的条件求得x、y的值.2若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（ ）A自然数集 B整数集 C有理数集 D实数集 【知识点】新概念的理解与应用。【答案解析】 A 解析 ：解： 取自然数集N中两个值如2、
2、4，而2-4=-2 ，所以选A。【思路点拨】取特殊值检验。3程序框图如下图所示，当时，输出的的值为（ ）A20 B22 C24 D25【知识点】程序框图描述意义的理解。【答案解析】 C 解析 ：解：由程序框图可知当k=n时： =，解得，所以选C【思路点拨】通过程序框图可得：当k=n时，S=由求得k值。4若从区间内随机取两个数，则两个数之比不小于的概率为（ ）A B C D【知识点】几何概型面积比求概率。线性规划的应用。【答案解析】 A 解析 ：解：设所取两数分别为a、b，则利用线性规划的知识求得：【思路点拨】利用线性规划求几何概型下的概率。5已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（
3、 ）A B C D【知识点】向量数量积得计算，投影的定义。【答案解析】 D 解析 ：解：由及，得，解得，所以向量在向量方向上的投影是。【思路点拨】由向量的数量积求得，再由投影定义求得结果。6四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在第（ ）号座位上 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【知识点】周期的应用【答案解析】 B 解析 ：解：把开始看成第一项，则第2014次互换座位后是第2015项，分析得周期为4，而的余数为3，所以第2014次互换座位后等于第二次
4、换位后的结果，此时小兔坐在2号位。【思路点拨】通过分析得四个小动物座位的周期性的变化规律，从而求得结果。7已知点，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ）A. B. C. D.【知识点】直线方程的求法，点关于直线对称点坐标的求法。【答案解析】 A 解析 ：解：由点斜式求得线段AB的垂直平分线方程检验得选项为A。 【思路点拨】求线段AB的垂直平分线方程，再根据线段CD的中点在该垂直平分线上，而且直线CD与AB垂直确定结果。8以下有五个结论：某校高三一班和高三二班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；若x1，x2，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5
5、，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25.；从总体中抽取的样本， 则回归直线=至少过点中的某一个点；其中正确结论的个数有（ ）A0个 B 1 个 C2 个 D3个【知识点】平均数的意义，方差的意义，回归直线方程的意义。【答案解析】 A 解析 ：解：（1）这两个班的数学平均分应为；（2）x1+5，x2+5，x10+5的方差为 b；（3）回归直线=不一定过样本点。【思路点拨】根据平均数的意义，方差的意义，回归直线方程的意义分析各命题的正误。9已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条【知识点】空间想象能力【答案解析】 D
6、 解析 ：解：与平面平行，而且与线段、分别相交与M、N的平面有无数多，所以直线有无数条。【思路点拨】凡是与平面ABCD平行而且与线段、都相交的平面上，都存在直线MN与平面ABCD平行。10.已知则下列函数的图象错误的是 （）【知识点】已知函数的图象，利用图象变换法确定函数的图象。【答案解析】 D 解析 ：解：函数的图象为： 【思路点拨】利用图象变换法确定函数的图象。第卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知，那么的值为_【知识点】弦化切求三角函数值。【答案解析】 解析 ：解：= 【思路点拨】把2倍角的正弦化为单角的正切求解。12已知实数满足，则的最
7、小值为 【知识点】线性规划的应用。【答案解析】 4 解析 ：解：画出可行域，可得最优解（0，2）所以的最小值为：4【思路点拨】画出可行域确定最优解。13已知等差数列的公差，若，则_.【知识点】等差数列的性质。等差数列的前n项和公式。【答案解析】 1008 解析 ：解：由得，所以所以【思路点拨】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的性质求m值。14. 已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_.【知识点】导数几何意义的应用。【答案解析】 解析 ：解：设两切点： ，由的，两切线方程为： 距离，所以最大距离为：【思路点拨】利用导数的几何意义，求得两平行直线的含相同参数的方程，再用平行线间
8、的距离公式及基本不等式求得距离的最大值。15函数的定义域为D，若对于任意，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在上为非减函数，且满足以下条件：则 【知识点】新概念的理解与应用。【答案解析】 解析 ：解：， ，。根据非减函数的定义得：。所以。【思路点拨】根据已知条件求得的值。再用非减函数的定义，求得的值，从而求得 。三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）为了宣传“低碳生活”，来自三个不同生活小区的3名志愿者利用周末休息时间到这三个小区进行演讲，每个志愿者随机地选择去一个生活小区，且每个生活小区只去一个人.求甲恰好去自己所生活小区
9、宣传的概率；求3人都没有去自己所生活的小区宣传的概率.【知识点】古典概型的概率求法。【答案解析】（1），（2） 解析 ：解：设甲、乙、丙三人分别来自A,B,C生活小区，则安排方案共有A 甲 甲 乙 乙 丙 丙B 乙 丙 甲 丙甲 乙C 丙 乙 丙 甲 乙 甲 6种 .6分 .12分 【思路点拨】先一一列出三名志愿者分别到三个小区的所有情况种数，再确定甲恰好去自己所生活小区的情况种数，再求比值即可；找出3人都没有去自己所生活的小区宣传的种数，求比值得到结果.17. （本小题满分12 ） 已知向量，函数，.求函数的最小正周期和单调递减区间；将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把
10、所得到的图像再向左平移单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值.【知识点】向量的数量积，三角函数的运算，三角函数的周期，三角函数单调区间求法，平移变换、伸缩变换，三角函数在确定区间上的最大值。【答案解析】 （1），（2）1. 解析 ：解：= 3分函数的最小正周期为T=。4分由得函数的单调减区间为，6分（2）根据条件得，9分当时，所以当x=0时 12分【思路点拨】（1）利用向量的数量积，求得=，再求周期和单调减区间。（2）利用平移变换、伸缩变换，求得.18（本小题满分12分）EADACABAPAA如图，在三棱锥中，平面平面，分别为，中点（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【知识点】线面垂直的
11、判定定理；锥体的体积公式.【答案解析】（1）略（2）解析 ：解：（1）连结，因为，又，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 6分 （2）因为平面平面， 有， 所以平面，所以. 12分 【思路点拨】（1）利用线面平行的判定定理判断平面，从而证明.（2）因为E是AC的中点，所以=。19（本小题满分12分）已知等差数列的公差不为0，前四项和，且成等比.求数列的通项公式；另，求； 为数列的前项和，若对一切恒成立，求实数的最小值.【知识点】等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，错位求和法、列项求和法，恒成立问题。【答案解析】（1）（2）（3） 解析 ： 解：（1）设公差为d,由已知得，解得d=1或
12、d=0(舍去)所以,故.(2),记,则, 又 的最小值为【思路点拨】（1）利用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求得首项、公差，从而求得.（2）利用错位求和法求得（3）利用列项求和法，再根据恒成立条件求的最小值。20（本小题满分13分）在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为，通径长为3（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，过点的直线与椭圆交于、两点，、分别为、的内心，延长与椭圆交于点，求四边形的面积与的面积的比值；（3）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【知识点】椭圆的焦点、离心率的
13、意义 ，三角形内心的性质，三角形的面积公式。直线与圆锥曲线的位置关系，恒成立问题。【答案解析】（1）（2）（3）存在点，使得的定值为. 解析 ： 解：（1）由题意可知：，通径为，解得：，故椭圆的方程为： （3分）（2）由于、分别为、的内心，根据内心的性质和等面积法可知：点内切圆的半径，同理可得：点内切圆的半径 所以(3)若存在P，使得为定值，设点，若直线BM的斜率不存在，的方程为：，则，若直线BM的斜率存在，的方程为：，设点联立得：根据韦达定理可得：，由于，则整理可得：（为常数） （10分）则对恒成立故解得：经验证直线BM的斜率不存在时，=，因此存在点，使得的定值为.【思路点拨】（1）根据通径
14、及离心率的意义求得a、b、c即可。（2）根据内心的性质和等面积法可求的结论。（3）若存在P，设点，当直线BM的斜率存在时，其方程设为： 代入椭圆方程得：，设点，则，求得=（为常数）即，对任意实数k都成立故求得，在检验直线BM斜率不存在的情况即可。21. (本小题满分14分)已知函数. （1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，（）若函数有且仅有一个零点时，求的值；（）在（）的条件下，若，求的取值范围。【知识点】函数导数的几何意义；直线的点斜式方程；函数的零点；不等式恒成立问题；【答案解析】（1）（2）（）（） 解析 ：解：（1）当时，定义域，.2分，又在处的切线方程.4分（2）（）令则即 6分 令， 则 令，在上是减函数8分又所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当函数有且今有一个零点时，（）当，若只需证明令得或又，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又 ， 即 14分【思路点拨】（1）当时，得到函数解析式，求得其导函数，然后再求出在x=1处的导数值即为斜率，可得到切线方程.（2）（）令则可得 构造新函数， 求导利用单调性可得有且仅有一个零点时a的值；（）当，只需证明然后利用导数结合单调性求其最大值即可
