1、2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设全体实数集为R，M=1，2，N=1，2，3，4，则（RM）N等于（）A4B3，4C2，3，4D1，2，3，42“a4”是“a216”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知（，），sin（+）=，则tan（）等于（）A7BC7D4函数f（x）=x2ln|x|的大致图象为（）ABCD5已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB为
2、直角三角形，则+的最小值为（）A2B3C4D56函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A关于直线x=对称B关于点（，0）对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称7已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A与直线BC和直线A1B1都平行B与直线BC和直线A1B1都垂直C与直线BC平行且直线A1B1垂直D与直线BC和直线A1B1所成角相等8如图，等边ABC的边长为2，ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在ABC所在平面内，ADE绕A逆时针旋转一周， 的最大值为（）AB +
3、CD +2二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9（2）6（1）0=.3=10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是11设直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，当m=时，l1l2，当m=时，l1l212已知等比数列an各项都是正数，且a42a2=4，a3=4则an=，S10=13已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为14设椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF
4、1B，则椭圆C的离心率等于15若函数f（x）=，则不等式f（x23）f（x）的解集为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在钝角ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值17已知数列an各项都是正数，且+=n2+3n（nN*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，nN*，求bn的前n项和Sn18四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DAB=ABC=90，PA底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点（）
5、求证：CE平面PAB；（）求PA与平面ACE所成角的正弦值19已知抛物线C1：y2=2px（p0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，（1）求a，p的值；（）设P为直线x=1上除（1，），（1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由20已知a0，bR，函数f（x）=4ax22bxa+b的定义域为0，1（）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M02015-2016学年浙江省台州
6、市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设全体实数集为R，M=1，2，N=1，2，3，4，则（RM）N等于（）A4B3，4C2，3，4D1，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据全集R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可【解答】解：全体实数集为R，M=1，2，N=1，2，3，4，RM=x|x1且x2，则（RM）N=3，4故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2“a4”是“a216”的（）A充分不必要条件B必要
7、不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a216得a4或a4，则“a4”是“a216”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3已知（，），sin（+）=，则tan（）等于（）A7BC7D【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】由已知利用诱导公式可求sin，结合的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos，tan的值，利用两角差的正切函数公式即可计算求值【解答】解：sin（+）=sin=
8、，可得：sin，（，），cos=，tan=，tan（）=7故选：A【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题4函数f（x）=x2ln|x|的大致图象为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】由函数的表达式确定函数的性质，从而利用数形结合确定函数的图象的形状【解答】解：f（x）=x2ln|x|=f（x），函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，又f（x）的定义域为（，0）（0，+），排除C，又f（x）+，故排除B，故选：D【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形
9、结合的思想应用，同时考查了排除法的应用5已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A2B3C4D5【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且AOB为直角三角形，可得|AB|=圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点
10、，且AOB为直角三角形，|AB|=r=圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，化为2a2+b2=2+=（+）（2a2+b2）=（2+2+）（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号+的最小值为 4故选：C【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题6函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则函数f（x）的图象（）A关于直线x=对称B关于点（，0）对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由已知求出满足条
11、件的，值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，=2，则f（x）=sin（2x+），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin2（x）+=sin（2x+）的图象，若得到的函数为偶函数，则=k+，kZ，即=k+，kZ，|，当k=1时，=，故f（x）=sin（2x），由2x=+k，即x=+，kZ时，即函数的对称轴为x=+，kZ2x=k，即x=+，kZ时，即函数的对称中心为（+，0），kZ则当k=1时，x=，即函数关于点（，0）对称，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函
12、数的图象和性质是解答的关键考查学生的运算和推理能力7已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A与直线BC和直线A1B1都平行B与直线BC和直线A1B1都垂直C与直线BC平行且直线A1B1垂直D与直线BC和直线A1B1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CBAB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直
13、，则CBAB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线AB所成角相等，与直线BC和直线A1B1所成角相等，正确故选：D【点评】本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8如图，等边ABC的边长为2，ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在ABC所在平面内，ADE绕A逆时针旋转一周， 的最大值为（）AB +CD +2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】设BAD=，（02），则CAE=，把转化为含有的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案【解答】解：设BAD=，（02），
14、则CAE=，则=（）（）=coscoscos+sinsin=当时， 的最大值为故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共7个小题，多空提每题6分，单空题每题4分，共36分.9（2）6（1）0=3.3=2【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】直接利用有理指数幂的运算法则以及对数运算法则化简求解即可【解答】解：（2）6（1）0=41=33=2故答案为：3；2【点评】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力10某几何体的三视图如图所示
15、，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是72，表面积是120【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为： =12V=Sh=612=72S表面=2S底+S侧面=212+6（6+5+5）=120【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错11设直线l1：x+my+6=0和
16、l2：（m2）x+3y+2m=0，当m=1时，l1l2，当m=时，l1l2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】利用直线平行、垂直的性质求解【解答】解：直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，l1l2，=，解得m=1；直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，l1l2，1（m2）+3m=0，解得m=；故答案为：1，【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用12已知等比数列an各项都是正数，且a42a2=4，a3=4则an=2
17、n1，S10=1023【考点】等比数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q0，由a42a2=4，a3=4可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a42a2=4，a3=4，解得，则an=2n1，S10=1023故答案分别为：2n1；1023【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围为u【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化思想；构造法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性
18、质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x0，u=3，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，AO的斜率最小，BO的斜率最大，由得，即B（2，4），由得，即A（3，2），则AO的斜率k=，BO的斜率k=2，即k2，则u=3=3在k2上为增函数，则当k=时，函数取得最小值，u=，当k=2时，函数取得最大值，u=，即u，故答案为：u【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键注意数形结合14设椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1
19、B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用ADF1B，建立方程关系即可得到结论【解答】解：连接AF1，ODAB，O为F1F2的中点，D为BF1的中点，又ADBF1，|AF1|=|AB|AF1|=2|AF2|设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，e=【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大为了方便，可以先确定一个参数的值15若函数f（x）=，则不等式f（x23）f（x）的解集为（，）【考
20、点】分段函数的应用；其他不等式的解法【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用【分析】根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可【解答】解：若x1，即x2时，x231，此时函数f（x）在1，+）为减函数，则由f（x23）f（x）得x23x，即2x2x60，得x2，此时x无解若x1，即x2时，若x231，即2x2，时，函数f（x）在（，1上是增函数，则由f（x23）f（x）得x23x，即2x2x60，得x或x2（舍），此时2x若x2，则x1，此时f（x）0，而x231，则f（x23）0，此时不等式f（x23）f（x）恒成立，综上不等式的解集为（，），故答案为：（，）
21、【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在钝角ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=，c=4，求a的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2k2x+2k，kZ，即可解得函数f（x）的单调递增区间（）
22、由f（B）=2sin（2B+）=1，结合范围0B，可得2B+，从而解得B=，利用余弦定理可得a24a+3=0，解得a=1或3由ABC为钝角三角形，C为钝角，可得a=1满足题意，即可得解【解答】（本题满分为14分）解：（）f（x）=4cosxsin（x+）1=4cosx（）1=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），4分由2k2x+2k，kZ，解得函数f（x）的单调递增区间为：k，k，kZ7分（）f（B）=2sin（2B+）=1，0B，2B+，2B+=，解得B=，9分b2=a2+c22accosB，即13=a2+164a，整理可得：a24a+3=0，解得：
23、a=1或312分ABC为钝角三角形，C为钝角，经检验：a=1满足题意14分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要注意一定要验根，属于中档题17已知数列an各项都是正数，且+=n2+3n（nN*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，nN*，求bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）当n2时利用+=n2+3n与+=（n1）2+3（n1）作差、整理可知an=4（n+1）2（n2），进而计算可得结论；（）通过（I）可知bn=，nN*
24、，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（）当n2时， +=n2+3n，+=（n1）2+3（n1），两式相减得： =（n2+3n）（n1）2+3（n1）=2n+2，an=4（n+1）2（n2），又=4即a1=16满足上式，an=4（n+1）2；（）由（I）可知bn=，nN*，Sn=42+3+（n+1），Sn=42+3+n+（n+1），两式相减得： Sn=41+（n+1）=41+（n+1）=6（n+3），于是Sn=12（n+3）【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题18四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DAB=ABC=9
25、0，PA底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点（）求证：CE平面PAB；（）求PA与平面ACE所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）要证CE平面PAB，只要证明CE平行于平面PAB内的一条直线即可，由E为PD的中点，可联想找PA的中点F，连结EF、BF后，证明BCEF是平行四边形即可证得答案；（）取AD的中点G，连接EG，则EGAP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦连接BG交AC于O，连接OE，证得平面ACE平面OEG，交于直线OE，过G作GHOE，交OE于H，可得GEH为
26、EG与平面ACE所成的角，即GEO，运用解直角三角形，即可得到所求值【解答】解：（）证明：如图，取PA的中点F，连结FE、FB，则FEBC，且FE=AD=BC，BCEF是平行四边形，CEBF，而BF平面PAB，CE平面PAB；（）取AD的中点G，连接EG，则EGAP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦连接BG交AC于O，连接OE，由ACEG，ACBG，可得AC平面OEG，即有：平面ACE平面OEG，交于直线OE，过G作GHOE，交OE于H，可得GEH为EG与平面ACE所成的角，即GEO，由EG=1，GO=，可得EO=，可得sinGEO=，则PA与平面ACE所成角的正弦值为【点评】本题考
27、查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题19已知抛物线C1：y2=2px（p0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，（1）求a，p的值；（）设P为直线x=1上除（1，），（1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据抛物线的定义即可得到，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到，从而可求
28、出a的值；（）可设过点P的直线l方程为：yy0=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky28y+8y0+8k=0，可设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可以得到可以求圆心C2到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k1+k2=y0，这样即可求得y1y2y3y4=64，即得出A，B，C，D四点纵坐标之积为定值【解答】解：（）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x=的距离为3；p=4；抛物线的焦点坐标为（2，0）；（）设P（1，y0），过点P的直线方程设为l：yy0=k（x+1）；由得，ky28y+8y0
29、+8k=0；若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4；C2到l的距离d=；=；A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64【点评】考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式20已知a0，bR，函数f（x）=4ax22bxa+b的定义域为0，1（）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M0【考点】二次函数的性质【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及
30、应用【分析】（1）由题意可得f（0）0，f（1）0，0，01，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间0，1的关系，可得最值，即可证明f（x）+M0【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x22bx1+b在0，1内有两个不同的零点，即有，解得1b2或2b3；（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M0只需证明f（x）最小值+M0即可，设f（x）的最小值是m，问题转化为证明M+m0，证明如下：f（x）的对称轴为x=，当1时，区间0，1为减区间，可得M=f（0）=ba，m=f（1）=3ab，则M+m=2a0；当0时，区间0，1为增区间，可得m=f（0）=ba，M=f（1）=3ab，则M+m=2a0；当01时，区间0，为减区间，1为增区间，可得m=f（）=，若f（0）f（1），即b2a，可得M=f（1）=3ab，M+m=a0；若f（0）f（1），即2ab4a，可得M=f（0）=ba，M+m=，由于2ab4a，可得M+m（a，2a，即为M+m0综上可得：f（x）max+f（x）min0恒成立，即f（x）+M0【点评】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用二次函数的图象，考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题2016年3月13日