1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。4函数的奇偶性与简单的幂函数41函数的奇偶性第1课时函数奇偶性的概念水平1 1对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()2不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()3奇函数f(x)的定义域为R，且f(2)5，则f(2)5.()4若函数f(x)是奇函数，则f(0)0.()5若f(0)0，则函数f(x)是奇函数()【解析】1.提示：.反例：f(x)x2，存在x0，f(0)f(0)0，但函数f(x)x2不是奇函数2提示：.函数f(x)0，xR
2、既是奇函数，又是偶函数3.4提示：.比如：f(x)是奇函数，但是f(0)不存在5提示：.比如：f(x)满足f(0)0，但是f(x)是非奇非偶函数题组一利用定义判断函数的奇偶性1已知函数f(x)3x(x0)，则函数()A.是奇函数，且在(0，)上单调递减B.是偶函数，且在(0，)上单调递减C.是奇函数，且在(0，)上单调递增D.是偶函数，且在(0，)上单调递增【解析】选C.因为f(x)3x(3x)f(x)，又因为f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)是奇函数，且在(0，)上单调递增2如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()Ayxf(x) Byxf(x)C.yx2
3、f(x) Dyx2f(x)【解析】选B.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x).令yg(x).对于A，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是奇函数；对于B，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是偶函数；对于C，g(x)(x)2f(x)x2f(x)，由于g(x)g(x)，g(x)g(x)，所以yx2f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于D，g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，所以yx2f(x)是奇函数3下列函数为偶函数的是_(填序号).yx2(x0)；y(x1)；y2；y|x|(x0).【解析】对于，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数
4、；又中，由得定义域为1，1)，不关于原点对称，故也是非奇非偶函数；对于，其定义域为R，且对xR都满足f(x)f(x)2，故是偶函数答案：题组二函数的奇偶性的图象特征1已知奇函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且不等式0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是()A.f(5)f(3) Bf(5)f(5) Df(3)f(5)【解析】选C.设0x1x2，则x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)5，可得f(3)f(5).2已知f(x)ax2bx1是定义在上的偶函数，则5a3b等于()A. B C0 D【解析】选A.因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即
5、ax2bx1ax2bx1，所以b0.又f(x)的定义域为，所以3a22a0，所以a.故5a3b.3(1)若f(x)为奇函数，且在a，b上有最大值M，则f(x)在b，a上有最_(填“大”或“小”)值_(2)若f(x)为奇函数，f(x)2在xa，b上有最大值M，则f(x)2在xb，a上有最_(填“大”或“小”)值_【解析】(1)设xb，a，则xa，b，所以f(x)M且存在x0a，b，使f(x0)M.因为f(x)为奇函数，所以f(x)M，f(x)M，且存在x0b，a，使f(x0)M.所以f(x)在b，a上有最小值M.(2)由(1)知，f(x)在a，b上有最大值M2时，f(x)在b，a上有最小值M2.
6、所以f(x)2在b，a上有最小值M4.答案：(1)小M(2)小M4题组三利用函数的奇偶性求函数的解析式、函数值1已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A.4 B3 C2 D1【解析】选B.因为f(x)是奇函数，所以f(1)f(1).又g(x)是偶函数，所以g(1)g(1).因为f(1)g(1)2，所以g(1)f(1)2.又f(1)g(1)4，所以f(1)g(1)4.由得g(1)3.2奇函数f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，则在(，0)上f(x)的函数解析式是()A.f(x)x(1x) Bf(x)x(1x)C.f(x)
7、x(1x) Df(x)x(x1)【解析】选B.设x0，因为函数f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，所以f(x)x(1x)，又函数f(x)是奇函数，即f(x)f(x)，则当x0时，f(x)f(x)x(1x).3已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)_【解析】根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数；故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.答案：易错点一忽略定义域而出错1若函数f(x)ax2(a2b)xa1是定义在(a，0)(0，2a2)上的偶函数，则f(1)等于()A.1 B3 C. D【解析】选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，则a2a20，解得a2.又偶函数
8、不含奇次项，所以a2b0，即b1，所以f(x)2x21.于是f(1)3.2下列函数中是奇函数的为()A.f(x)x3x5B.f(x)|x1|x1|C.f(x)D.f(x)【解析】选A.对于A，函数的定义域为R.因为f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，所以f(x)是奇函数；对于B，f(x)的定义域是R.因为f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)是偶函数；对于C.函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，f(x)的定义域为R，当x0，f(x)(x)3x3，而f(x)x2，所以当xD()0，所以D(x)不是增函数所以D错误
9、【易错误区】用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，需要判断定义域内的“任意一个x”，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，不是只验证某一个或某几个水平1、2限时30分钟分值60分战报得分_一、选择题(每小题5分，共30分)1下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是()Ayx3 By|x|1C.yx21 Dyx【解析】选B.因为yx3在定义域R上是奇函数，故A不对；yx21在定义域R上是偶函数，但在(0，)上是减函数，故C不对；yx是奇函数，在(0，)上是增函数，故D不对；B中y|x|1是偶函数，且在(0，)上是增函数2已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(
10、x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A.3 B1 C1 D3【解析】选C.令x1可得f(1)g(1)1，因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)f(1)，g(1)g(1)，即f(1)g(1)1f(1)g(1)1.3已知f(x)x5ax3bx2，且f(5)17，则f(5)的值为()A.13 B13 C19 D19【解析】选A.设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数f(x)g(x)2，f(5)g(5)217.所以g(5)15，故g(5)15.所以f(5)g(5)215213.4若函数f(x)为奇函数，则a等于()A.1 B2 C D【解析】选C.由题意得
11、f(x)f(x)，则，当x0时，2x2(2a1)xa2x2(12a)xa，所以2a112a，所以a.当x0时，也符合所以a.5(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xx2，则下列说法正确的是()A.f(1)0B.f(x)的最大值为C.f(x)在(1，0)上单调递增D.f(x)0的解集为(1，1)【解析】选AB.f(1)f(1)0，A正确；当x0时，f(x)xx2，所以f(x)的最大值为，B正确；f(x)在上是减函数，C错误；f(x)0的解集为(1，0)(0，1)，D错误6(金榜原创题)(多选)设a是实数，关于函数f(x)2x2的性质正确的为()A.当a0时，f(x)是
12、偶函数B.当a0时，f(x)是非奇非偶函数C.当a1时，f(x)在(，0)上单调递增D.当a2时，f(x)在(0，)上的最小值为12【解析】选AB.因为当a0时，f(x)2x2，所以f(x)是偶函数当a0时，f(1)23a，f(1)23a，所以f(1)f(1)6a0，即f(1)f(1)，所以f(x)不是偶函数，因为f(1)f(1)4，所以f(1)f(1)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)是非奇非偶函数当a1时，在(，0)上2x2是减函数，也是减函数，所以f(x)在(，0)上是减函数当a2时，f(1)812，所以f(x)在(0，)上的最小值为12是错误的二、填空题(每小题5分，共20分)7若
13、f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，所以m0，即f(x)x22.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在x0，)上单调递减，所以f(2)f(1)f(0)，即f(2)f(1)f(0).答案：f(2)f(1)f(0)8已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0，2)时，f(x)2x2，则f(7)_【解析】f(7)f(34)f(3)f(14)f(1)，因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，因为1(0，2)，所以f(
14、1)2122，所以f(7)f(1)2.答案：29已知函数f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)的解析式为_，不等式f(x)0时，x0时，f(x)x24.当x0时，f(x)0，即x240，解得2x2，又因为x0，所以2x0时，f(x)0，即4x20，解得x2，又因为x0，所以x2.综上可得，f(x)0时,f(x)0,又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x)是R上的减函数;(3)求f(x)在区间-3,3上的值域;(4)若对任意xR,不等式f(ax2)-2f(x)f(x)+4恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)
15、=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)对任意xR恒成立,所以f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2(-,+),且x10,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,所以f(x2)f(x2),所以f(x)是R上的减函数.(3)由(2)知f(x)在R上为减函数,所以对任意x-3,3,恒有f(3)f(x)f(-3),因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-23=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,f(x)在-3,3上的值域为-6,6.(4)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+f(-2x)f(x)+f(-2)
16、,则f(ax2-2x)x-2,当a=0时,-2xx-2在R上不是恒成立,与题意矛盾;当a0时,ax2-2x-x+20,要使不等式恒成立,则=9-8a;当a0在R上不是恒成立,不合题意.综上所述,a的取值范围为.已知函数f(x)mx2nx3mn是偶函数，且其定义域为m1，2m.(1)求m，n的值；(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值【解析】(1)因为函数f(x)mx2nx3mn是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称，又因为函数f(x)的定义域为m1，2m.所以m12m0，解得m，又由f(x)mx2nx3mnf(x)mx2nx3mn，可得n0.(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x21，定义
17、域为.其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，当x时，f(x)取最大值，最大值为.【加练备选】已知函数f(x)=ax+c(a,b,c是常数)是奇函数,且满足f(1)=,f(2)=.(1)求a,b,c的值;(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明.【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-ax-+c=-ax-c,所以c=0,所以f(x)=ax+.又因为f(1)=,f(2)=,所以所以a=2,b=.综上,a=2,b=,c=0.(2)由(1)可知f(x)=2x+.函数f(x)在区间上单调递减.证明如下:任取0x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-=(x1-x2)=(x1-x2)因为0x1x2,所以x1-x20,4x1x2-10,f(x1)f(x2).所以f(x)在上单调递减.关闭Word文档返回原板块