1、（14）双曲线的简单几何性质1.已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为( )A.B.C.D.2.已知双曲线,若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且,则双曲线离心率的最小值为( )A.B.C.2D.3.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为( )A.B.C.或D.或74.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.35.已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点.若,则的取值范围是( )A.B.C.D.6.已知点为双曲线的右焦点，为双曲线右支上的一点.为坐标原点.若
2、,且，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.7.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为的是( )A.B.C.D.8.已知双曲线的离心率为2,则C的渐近线的斜率为( )A.B.C.D.9.已知双曲线的焦点为,渐近线为,过点且与平行的直线交于M,若,则m的值为( )A.1B.C.2D.310.已知双曲线的左、右焦点分别为,点O为坐标原点,点P在双曲线右支上,内切圆的圆心为Q,圆Q与x轴相切于点A,过作直线的垂线,垂足为B,则与的长度依次为( )A.B.C.D.11.如图,以为直径的圆有一内接梯形,且.若双曲线以为焦点,且过两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为_.12.过双曲线的右焦点
3、F作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率e的取值范围为_.13.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为,直线与其相交于两点,的中点的横坐标为,则此双曲线的标准方程是_.14.如果双曲线两渐近线的夹角是,则该双曲线的离心率是_.15.已知双曲线的焦距为4，且过点.1.求双曲线的方程及其渐近线方程；2.若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值.答案以及解析1.答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形为矩形.双曲线的渐近线方程为，圆的方程为.不妨设交点在第一象限，由得，故四边形的面积为，解得，故
4、所求的双曲线方程为，故选D2.答案：C解析：因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且,故直线与双曲线相交只能如图所示的情况,即点在双曲线的左支,点在右支,设,右焦点,因为,所以,由图可知,所以,故,即,即,故选C.3.答案：C解析：构成等比数列，.当时，圆锥曲线方程为，其离心率为；当时，圆锥曲线方程为，其离心率为.故选C4.答案：B解析：根据双曲线的定义，可得.由已知可得.两式作差得.又，所以，即，得.两边平方得，即，即，则，所以双曲线的离心率，故选B5.答案：A解析：根据双曲线的标准方程，可知.因为在双曲线上，所以，即，所以.由得，解得.6.答案：A解析：,是的中点.,，.，是的中点，.点在双
5、曲线上，即.，即，解得或(舍)，故选A7.答案：C解析：由题意，选项A,B表示的双曲线的焦点在x轴上，故排除A,B；选项C表示的双曲线的渐近线方程为，即，故选C8.答案：A解析：双曲线的离心率为2,C的渐近线方程为,C的渐近线的斜率为,故选A.9.答案：D解析：不妨设,所以过点且与渐近线平行的直线方程为,由,解得,所以,所以.因为,所以,即,解得或(舍去).故选D.10.答案：A解析：由题意,可知,内切圆与x轴的切点是点A,由及圆的知识,知,设内切圆的圆心Q的横坐标为x,则,所以,所以.延长交于点C,则为等腰三角形,且,在中,故选A.11.答案：解析：连接,设,作于点E,则,所以,梯形的周长.
6、当,即时,l有最大值,这时,.12.答案：解析：双曲线的渐近线方程为.由过双曲线的右焦点、且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有一个交点,得,即,所以,可得.由过双曲线的右焦点、且斜率为3的直线与双曲线右支有两个不同的交点,得,即,所以,可得.综上,双曲线的离心率e的取值范围为.13.答案：解析：由题意,设双曲线的方程为,由,得,所以,解得.又,所以,即双曲线的标准方程为.14.答案：或2解析：易知双曲线的渐近线的斜率是.又两渐近线的夹角为,则或,即或,又,所以或,故该双曲线的离心率为或2.15.答案：1.由题意得解得双曲线的方程为，其渐近线方程为.2.由得.由题意得，.当直线与双曲线的渐近线平行，即时，直线与双曲线只有一个公共点，或.解析：