1、数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z，则z3的虚部为A.2 B.2i C.4 D.4i2.设，为两个平面，则/的充要条件是A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面3.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A. B. C. D.4.已知某7个数的平均数为3，方差为3，现加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，标准差为s，则A.3，s B.3，s3，s3，s5.从集合0，1，2，3中随机
2、地取一个数a，从集合2，4，6中随机地取一个数b，则向量(b，a)与(1，2)垂直的概率为A. B. C. D.6.在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则A. B. C. D.7.在ABC中，cosC，AC3，BC4，则cosBA. B. C. D.8.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为4的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为A.8 B.4 C.2 D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某次数学考
3、试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是A.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是B.丙同学随机选择选项，能得分的概率是C.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是D.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是10.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(𝕜m/)分成六段：60，65)，65，70)，70，75)，75，80)，80，85)，8
4、5，90，得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是A.若从样本中车速在60，70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在65，70)内的概率为B.B.若从样本中车速在60，70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在65，70)的概率为C.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5D.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.6511.已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是A.若m，n，则m/n B.若m/，m/，则/C.若，m/，则m D.若/，m，则m12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且DAB
5、 60，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是 A.在棱AD上存在点M，使AD平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90C.二面角PBCA的大小为45 D.BD平面PAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量(3，1)，(1，1)，k，若，则k 。14.已知ABC的面积为3，AB2，B，则 。15.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六边形边长为cm，高为2cm，内孔直径为1cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3。16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为4若SA
6、B的面积为5，则该圆锥的侧面积为 。四.解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知，是同一平面内的三个向量，其中(1，3)，(2，4)，(2，m)。(1)若()，求|c|；(2)若k与2共线，求k的值。18.(12分)十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某省某科研机构帮助某贫困县的农村村民真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，积极引导该县农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该村村民的经济收入。2019年年底，该机构从该县种植了这种名贵药材的农户中随机抽取了n户，统计了他们2019年因种植中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植
7、中药材这一项一年最多增加11万元)，并分成以下几组：1，3)，3，5)，5，7)，7，9)，9，11，统计结果如下图所示：已知样本中数据落在9，11这一组的频率为0.08。(1)求n和表中a的值；(2)试估计该贫困县农户因种植中药材所获纯利润的平均值和中位数及第80百分位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)。19.(12分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知b2 ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC。(1)证明：BDb；(2)若AC3DC，求cosABC。20.(12分)如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC。 (
8、I)证明：EFDB；(II)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值。21.(12分)关注大众身体健康的同时，也需关注大众的心理健康。某机构为了解市民心理健康状况，分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知专项心理等级为一般的有680人。(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数；(2)在专项心理等级为有隐患的市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因，并从中选取2人列为长期关注对象，求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；(3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案是：以抽取样本为例，市民心理健康指数平均值不低于0.8，只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂。根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由。(每组数据以区间的中点值为代表，心理健康指数问卷调查得分/100)22.(12分)如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点。 (1)证明：OACD；(2)若OCD是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA且二面角EBCD的大小为60，求三棱锥ABCD的体积。