1、空间向量的应用习题课（教师版）一知识点梳理1空间角的计算（一）利用向量判断位置关系：（二）利用向量计算空间角和距离1空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则cos |cos |(其中为异面直线a,b所成的角)(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin |cos |.(3)二面角的求法如图所示,二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,n1,n2,则二面角l的大小为或.2点到平面距离的计算PnAa求点到面的距离的常用方法：(1)等体积法：变换顶点,使
2、得几何体的高好求,求出体积,再利用体积相等求出点到面的距离；(2)垂线法：直接过点作面的垂线,求出垂线段的长度即可(最好有面面垂直)；(3)向量法：二例题讲解题型一线线、线面角例1 如图,在四棱锥PABCD中,PA面ABCD,ABBC,ABAD,且PAABBCAD1.(1)求PB与CD所成的角(2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系,PAABBCAD1,P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),(1,0,1), (1,1,0).120,PB与CD所成的角为60.(2)=(0,2,1), =(0,0,1), (1,1,0),设
3、m(x,y,z)是平面PAC的一个法向量,即,即xy,z0,取x1,则m(1,1,0),设直线PD与面PAC所成的角为,.0,cos .即直线PD与面PAC所成角的余弦值为.题型二二面角例2 （江苏2011年附加10分）如图，在正四棱柱中，点N是BC的中点，点M在上设二面角的大小为（1）当时，求AM的长；（2）当时，求CM的长解：建立以D为坐标原点，DA，DC,所在直线分别为轴的空间直角坐标系。设，则各点的坐标为,，。设平面DMN的法向量为，则,，即，令，则，是平面DMN的一个法向量。设平面的法向量为，则，即，令，则。是平面的一个法向量，从而。（1），解得，从而，。（2），。，或，解得或。根据
4、图形和（1）的结论可知从而CM的长为。题型三求点面距离例3.如右图,已知长方体ABCDA1B1C1D1,AB2,AA11,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30,AE垂直BD于E,F为A1B1的中点求点A到平面BDF的距离解：在长方体ABCDA1B1C1D1中,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如右图由已知AB2,AA11,可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)设n(x,y,z)是平面BDF的一个法向量(2,0)由 得,即取n(1,1),点A到平面BDF的距离,即AB在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值所以距离d|cos,n|
5、.所以点A到平面BDF的距离为.题型四探究性问题例4如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在线段A1B1上,且满足A1P=lA1B1.(1)证明：PNAM.(2)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值(3)是否存在点P,使得平面 PMN与平面ABC所成的二面角为45.若存在求出l的值,若不存在,说明理由解：(1)证明如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.则P(,0,1),N(,0),从而(,1),(0,1,)()0110,PNAM.(2)解平
6、面ABC的一个法向量为n(0,0,1), 则sin (*)而0,当最大时,sin 最大,tan 最大(除外), 由(*)式,当时,(sin )max,(tan )max2.(3)平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),由(1)得(,1,)由得解得令x3,得m(3,21,2(1)平面PMN与平面ABC所成的二面角为45,|cosm,n|,解得.故在线段A1B1上不存在点P条件.注：空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断在解题过程中,往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,
7、是否有规定范围的解”等,所以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题三巩固练习1. (2010辽宁)如图所示,已知三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABAC,PAACAB,N为AB上一点,且AB4AN,M,S分别为PB,BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小解：(1)证明：设PA1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,0)所以(1,1,), (,0)因为00,所以CMSN.(2)(,1,0),设a(x,y,z)为
8、平面CMN的一个法向量,则即令x2,得a(2,1,2)因为|cosa,|,所以SN与平面CMN所成角为45.2. 如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,ABCD,ADCD2AB,E、F分别为PC、CD的中点(1)求证：AB平面BEF；(2)设PAkAB,且二面角EBDC的平面角大于45,求k的取值范围(1)证明由已知DFAB且DAB为直角,故ABFD是矩形,从而ABBF.又PA底面ABCD,所以平面PAD平面ABCD.因为ABAD,故AB平面PAD,所以ABPD.所以在PDC内,E、F分别是PC、CD的中点,所以EFPD,所以ABEF.且BFEFF.所以AB平面BEF
9、.(2)解 以A为原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB的长为1,则设平面CDB的法向量为n1=(0,0,1),平面EDB的法向量为n2=(x,y,z),则,取y1,可得n2(2,1,) 设二面角EBDC的大小为,则cos |cosn1,n2|,则k.3. (2010课标全国)如图,已知四棱椎PABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系
10、如图,则A(1,0,0)B(0,1,0)(1)证明：设C(m,0,0),P(0,0,n)(m0),(2)由已知条件可得m,n1,故C,D,E,P(0,0,1)设n(x,y,z)为平面PEH的法向量,4.（2012年高考（大纲理）如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.(1)证明:平面;(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. ()证明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得. 所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角
11、为. 5.如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MDNB1,E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN？若存在,求线段AS的长；若不存在,请说明理由解(1)如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz.依题意,易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E.,(1,0,1)异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN.(0,1,1),可设 =(0,),又,.由ES平面AMN,得 即故,此时,| |.经检验,当AS时,ES平面AMN.故线段AN上存在点S,使得ES平面AMN,此时AS.
