1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）能力测试试题卷（宁大附中第一次模拟考试） 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则ABCD2设复（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机
2、抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远以上成绩为及格，以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的分别是是A3%，0.010B3%，0.012C6%，0.010 D6%，0.0124已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定能成立的是ABC D5已知函数，则“”是“有极值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知是定义在上的奇函数，若，则a的值为A2BC2或D2或17已知，则ABCD8将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，若，
3、且、，则的最大值为ABCD9已知中，若是其内一点，则的取值范围是ABCD10如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为ABCD11已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为A B C D12已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是ABCD第II卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13从只读过论语的名同学和只读过红楼梦的名同学
4、中任选人在班内进行读后分享，则选中的人都读过红楼梦的概率为_14已知数列的前项和，则数列的前10项和为_15已知中，角，所对的边分别为，.，的面积为4，则_.16过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分)17（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求使不等式成立的的最小值18（12分）为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞
5、赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，得到如图所示的频率分布直方图（1）求的值；（2）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；（3）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生女生合计参考公式及数据：，19（12分）如图，在直三棱柱中，交于点，为的中点.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.20（12分）已知椭圆的离心率为，且焦距为8（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角
6、为，且与C交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积的最大值21（12分）已知函数（且，）是偶函数，函数（且） .（1）求的值；（2）若函数有零点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，使得成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。22（10分）选修44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线(为参数)，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程;（2）已知，曲线，相交于，两点，试求点与弦的中点的距离23（10分）选修45：不等式选讲已知函数f
7、（x）|x+1|+|x+a|（）当a1时，求不等式f（x）2x的解集；（）当不等式f（x）1的解集为R时，求实数a的取值范围宁大附中2020-2021学年第二学期高三第一次模拟高三数学（理）答题卷参考答案1A【分析】化简集合，再求交集.【详解】故选：A2A【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3C【分析】根据频率分布直方图可直接求出优秀率，根据频率之和为，可求出.【详解】由频率分布直方图可得，优秀率为；由，解得；故选：C.4C【分析】用特殊值排除法和不等式的性质可得答案.【详解】取，则，排除A、D；取，则排除
8、B；因为，且，所以同号，且，所以.故选：C5B6C【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.【详解】是奇函数，而，所以，解得或，故选：C7A【分析】根据题意并结合诱导公式可得出，再由二倍角的余弦公式，即可得出求出结果.【详解】解：由题意可知，根据诱导公式可得：，则故选：A.8D【分析】根据三角函数图象变换得到，由题意可得、，可得出、的表达式，结合、，可求得的最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，、，、.当，时，；当，时，.所以.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换与性质，根据条件求出函数解析式，以及利用函
9、数最值求出、的表达式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9C【分析】以为坐标原点，以过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，求出，设，因为点是其内一点，所以，计算得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则，因为，所以，可得，所以，,设，因为点是其内一点，所以，当，时最大为，当时最小为，所以的取值范围是，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点是其内一点，可求出的范围，可求最值.10D【分析】由正四棱锥侧棱，高，侧棱在底面上的射影构成的直角三角形求出侧棱与底面边长的关系，从而得面积比值【详解】塔顶是正四棱锥，如图，是正四棱锥
10、的高，设底面边长为，底面积为，是正三角形，面积为，所以故选：D11C【分析】由得或，而时，无解，需满足有两个解利用导数求得在时的性质，由奇函数得时的性质，然后可确定出的范围【详解】或，时，时，递减；时，递增，的极小值为，又，因此无解此时要有两解，则，又是奇函数，时，仍然无解，要有两解，则综上有故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用首先方程化为或，然后用导数研究时的性质，同理由奇函数性质得出时的性质，从而得出无解，有两解时范围12B【分析】设切点为,由勾股定理可得，进而可得的斜率，又点在双曲线的右支上，所以，计算可求得结果.【详解】直线与圆相切，设切点为,则
11、,，所以，则直线的斜率，又点在双曲线的右支上，所以，即，所以，所以，即，故选:B.13【分析】首先分类编号，再列举所有的基本事件和满足条件的基本事件，利用古典概型求概率.【详解】将只读过论语的名同学分别记为，只读过红楼梦的名同学分别记为，设“选中的人都读过红楼梦”为事件，从名同学中任选人的所有可能情况有，共种，其中事件包含的可能情况有，共种，故故答案为：14【分析】根据可求得的通项公式，经检验，满足上式，所以可得，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，又满足上式，所以，所以，所以数列的前10项和为，故答案为：【点睛】解题的关键是根据，求得的通项公式，易错点为，若满
12、足上式，则写成一个通项公式的形式，若不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.156【分析】根据已知条件结合先求解出的值，从而的值可求，再结合的面积以及角对应的余弦定理即可求解出的值.【详解】由，得，所以.因为，所以，即，解得，所以，故，所以.由余弦定理及，可得，解得.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项：（1）注意隐含条件“”的使用；（2）对三角函数的相关等式进行化简时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为；（3）余弦定理中要注意边长的乘积与边长的和的转换，如.16【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t
13、值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.17（1）；（2）【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及前项和，可得，然后利用公式法，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算，然后可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为由，所以，所以（2）由（1）可知：所以又，所以即或所以使不等式成立的的最小值为8【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，主要是计算，属基础题.18（1）；（2）；（3）列联表见解析，没有【分析】（1）根据
14、频率直方图中所有小矩形的面积之和为1这一性质进行求解即可；（2）结合（1）的结论，求出比赛成绩不低于分的频率即可；（3）结合（2）的结论，先求出比赛成绩优秀的人数，这样可以完成列联表，再根据题中所给的公式求出的值，结合参考数据进行判断即可.【详解】（1）由题可得，解得（2）由（1）知，则比赛成绩不低于分的频率为，故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分的概率约为（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，非优秀的人数为，非优秀的男生人数为40人，所以非优秀的女生人数为25人，由此可得完整的列联表：优秀非优秀合计男生女生合计所以，所以没有的把握认为“
15、比赛成绩是否优秀与性别有关”【点睛】本题考查了补全频率直方图，考查了利用频率直方图求概率的问题，考查了的运算，考查了通过的值做出数学判断的能力，考查了数学运算能力和推理论证能力.19（）证明见解析；（）.【分析】（）由直三棱柱的性质结合可得平面，进而，结合即可得线面垂直；（）如图建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为，求出两法向量夹角的余弦值即可得结果.【详解】（）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以平面. （）由（）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则,.设，所以，因为，所以，即.所以平面的一个法向量为. 设平面的法
16、向量为，所以所以即令，则，所以平面的一个法向量为. 所以. 由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20（1）；（2）【分析】（1）由椭圆的离心率，焦距，再结合，即可求出C的方程；（2）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出，即可求出面积的表达式，根据表达式即可求出的面积有最大值.【详解】解：（1）依题意可知：，解得：，故C的方程为：；（2）依题意可设直线l的方程为：，联立：，整理得：，则，解得：，设，则，原点到直线l的距离，则的面积，当且仅当“”，即“”时，的面积有最大值，且最大值为【点睛】思路点睛：求解椭圆中的面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方
17、程，根据韦达定理，以及弦长公式，求出弦长，再利用点到直线的距离求出高，即可求出结果.21（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函数是偶函数，利用偶函数的定义，化简函数，求的值；（2）问题转化为有解，分和两种情况讨论；（3）由条件可知问题转化为，根据不等式恒成立，参变分离后对恒成立，转化为求函数最值.【详解】解：（1）为偶函数，有，对恒成立.对恒成立.，恒成立，.（2）若函数有零点，即，即有解.令，则函数图象与直线有交点.当时，无解.当时，由有解可知，所以，的取值范围是.（3）当时，由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值是.由题意，使得成立，即，成立，所以对恒成立，设，则对恒成立，设函数
18、，易知函数，函数在内都是减函数，所以在是减函数，则，所以. 即的取值范围是.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若若，有，则的值域是值域的子集22（1），；（2）.【分析】（1）消去参数得到直角坐标方程，再写出其极坐标方程，根据公式将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求出到直线的距离，再由勾股定理计算可得；【详解】解：(1)曲线:（为参数）消去参数，得其极坐标方程为，即曲线:，即，即，所以曲线的直角坐标方程为.(2)到:的距离又，得23（）（，1）；（）（，0）（2，+）【分析】（）a1时，根据零点分段化简函数f（x），解出不等式取并集可得答案；（）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，代入不等式可解得实数a的取值范围【详解】（）a1时，当x1时，f（x）2x2x，即x0，此时x1，当1x1时，f（x）22x，得x1，1x1，当x1时，f（x）2x2x，无解，综上，f（x）2x的解集为（，1）（）f（x）|x+1|+|x+a|x+ax1|a1|，即f（x）的最小值为|a1|，要使f（x）1的解集为R，|a1|1恒成立，即a11或a11，得a2或a0，即实数a的取值范围是（，0）（2，+）
