1、第一节平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量
2、运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量() ()(4)向量ab与ba是相反向量()(5)若ab，bc，则ac.
3、()(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有_ 3化简：4已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案： 典题1(1)给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()ABC D(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个
4、向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A1 B2C3 D4听前试做(1)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选A.(2)错误，两向量共线要看其方向而不
5、是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故选C.答案：(1)A(2)C(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量 (2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若 (1，2为实数)，则12的值为_ 答案：(1)A(2) 答案：向量线性运算的解题策略(
6、1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 典题3设两个非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A、B、D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线 (2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即解得k1.即k1时，kab与akb共线探究1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A、B、D三点共线？ 即4a(m3)b(ab)，解得m7.故当m7时，A、
7、B、D三点共线探究2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)，所以所以k1.又0，k，所以k1.故当k1时两向量反向共线(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线1已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同若a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上，则t_.解析：a，tb，(ab)三向量的终点在同
8、一条直线上，且a与b起点相同atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使atb，解得，t，即t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上答案：答案：3课堂归纳感悟提升方法技巧1向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”易错防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误一、选择题1给出下列命题：零向量的长度为零，方向
9、是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等；若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线则所有正确命题的序号是()A B C D解析：选A根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故与也可能平行，即A，B，C，D四点不一定共线，故错误2已知A、B、C三点不共线，且点O满足则下列结论正确的是()3如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则() Aab B.abCab D.ab4(2015天水模拟)A、B、O是平面内不
10、共线的三个定点，且点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则()Aab B2(ba)C2(ab) Dba 5(2016日照模拟)在ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若则ABC的形状为()A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形二、填空题6(2016包头模拟)如图，在ABC中，AHBC交BC于H，M为AH的中点，若则_.答案：7ABC所在的平面内有一点P，满足则PBC与ABC的面积之比是_答案：答案：2三、解答题 A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直2在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，
11、若EFmABnAD (m，nR)，则的值为()A2 B C2 D.3.如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且则的值为()A3 B. C2 D.解析：选B利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得xy，则.4.如图，在平行四边形ABCD中，设S，R，Q，P分别为AP，SD，RC，QB的中点，若manb，则mn_.答案：第二节平面向量基本定理及坐标表示考纲要求：1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理如果e1，e2是同一
12、平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.1判断下列结论的正误
13、(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(5)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(6)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(7)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)答案：43已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_，3a4b_.答案：(6,19)(18，1
14、3)4O是坐标原点，当k_时，A，B，C三点共线答案：2或11典题1在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若其中，R，则_.于是得即故.答案： 解得即(2dc)dc，(2cd)cd.(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决典题2(1)(2015新课标全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)(2)若向量a(1,1)，b(1，1)
15、，c(1,2)则c()Aab B.abC.ab Dab(3)(2016海淀模拟)已知向量a(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y2x上的一个动点若a，则点B的坐标为_听前试做(1)法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)(2)设c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以cab.(3)设B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)答案：(1)A(2)B(3)(3，6)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运
16、算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用向量共线求参数或点的坐标典题3(1)(2015四川高考)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x()A2 B3 C4 D6(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_听前试做(1)ab，264x0，解得x3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)
17、，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(1)B(2)(2,4)(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二：利用向量共线解决三点共线问题 (2)由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三点在一条直线上的充要条件是
18、存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共线，则t可为任意实数；若a，b不共线，则有解得t.综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t.答案：(1)1A、B、C三点共线AB与AC共线典题5(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.(2)给定两个长度为1的平面向量 它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若其中x，yR，求xy的最大值听前试做(1)设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得2，所
19、以4. (2)以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设AOC0，则C(cos ，sin )，由得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.答案：(1)4本题(2)的难点是选择合适的变量表示xy，然后转化为函数的最值求解，而破解这一难点的关键是建立平面直角坐标系，设出C点的坐标为C(cos ，sin )，然后借助求出x，y，从而利用三角函数的知识求出xy的最大值课堂归纳感悟提升方法技巧1两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2
20、y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同2三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定3若a与b不共线且ab0，则0.易错防范1若a，b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.一、选择题A(4,10)B(2,5) C(4,5) D(8,10)2下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2，能作为表示它们所在平面内所有向量
21、基底的是()A B C D解析：选B中，e1e2，即e1与e2共线，所以不能作为基底3已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角()A. B. C. D.解析：选B因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得sin2，所以sin ，故锐角.4设向量a(x,1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2 B2 C2 D0解析：选B因为a与b方向相反，所以bma，m0，则有(4，x)m(x,1)，解得m2.又m0，m2，xm2.5已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是()A(
22、，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：选D由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.二、填空题6(2016雅安模拟)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.解析：a2b(，3)，且a2bc，3k0，解得k1.答案：1解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即解得所以3.答案：38(2015江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3三、解答题(1)求3
23、ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得即所求实数m的值为1，n的值为1.(3)设O为坐标原点，10已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由 若P在x轴上，则23t0，t；若P在y轴上，则13t0，t；若P在第二象限，则t0，n0)，
24、求mn的最大值解：以A为原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2，0)，O(1,1)M，N，直线MN的方程为1，直线MN过点O(1,1)，1，即mn2，mn1，当且仅当mn1时取等号，mn的最大值为1.第三节平面向量的数量积考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，作则AOB就是向量a与b的
25、夹角范围：设是向量a与b的夹角，则0180.共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直(2)平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|.夹角：cos .两非零向量ab的充要条件：ab
26、0x1x2y1y20.|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0，可得a0或b0.()(4)两向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.()(5)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(6)(ab)ca(bc)()(7)abac(
27、a0)，则bc.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则ab_.答案：103已知|a|，|b|2，a与b的夹角为30，则|ab|_.答案：14已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于_答案：95已知单位向量e1，e2的夹角为60，则向量a2e1e2与b2e23e1的夹角为_答案：120典题1(1)(2015新课标全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0C1 D2(2)(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，
28、且则的最小值为_听前试做(1)法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.(2)在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60，可得ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，2.当且仅当，即时取等号，符合题意的最小值为.答案：(1)C(2)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义1(2016成都模拟)ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且
29、满足2，若2，3，BAC90，则的值为()A1 BC. D 2(2016合肥联考)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则ab在a上的投影为_解析：|ab|2a2b22ab142127，|ab|，cosab，a.ab在a上的投影为|ab|cosab，a2.答案：2典题2(1)(2015重庆高考)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.听前试做(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b
30、|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)因为2a3b(2k,6)(3,12)(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，选C.答案：(1)A(2)C探究1在本例(2)的条件下，若a与c的夹角的余弦值为，求k的值解：cosa，c，2k3，即4k2912kk29，k24k0，解得k0或k4，又2k30，k0.探究2在本例(2)的条件下，若2a3b与c的夹角为钝角，求k的取值范围解：2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，即k0，反之不成立；
31、两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立一、选择题1已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为()A12 B8 C8 D2解析：选A|a|cosa，b4，|b|3，ab|a|b|cosa，b3412.2已知p(2，3)，q(x,6)，且pq，则|pq|的值为()A. B. C5 D13解析：选B由题意得263x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.A2 B2 C4 D2解析：选DSABC|AB|AC|sinBAC41sinBAC.sinBAC，cosBAC，4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析：
32、选D设c(x，y)，则ca(x1，y2)，ab(3，1)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0，联立，解得x，y.5.如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则 () A最大值为8B为定值6C最小值为2D与P的位置有关二、填空题6已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F分别是BC，CD的中点，则等于_答案：7(2015浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，
33、得|b|e1|cos 301，|b|.答案：8设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最大值为_解析：法一：设向量c与ab的夹角为，则有|ab|，(ac)(bc)(ab)cc21cos ，故最大值是1.法二：a，b是单位向量，且ab0，故可设a(1,0)，b(0,1)又c是单位向量，故可设c(cos ，sin )，0,2)(ac)(bc)(1cos ，sin )(cos ，1sin )(1cos )cos sin (1sin )cos cos2sin sin21cos sin 1sin.(ac)(bc)的最大值为1.答案：1三、解答题 10已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是1
34、20.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直 A6 B5C4 D33在ABC中，P0是AB的中点，且对于边AB上任一点P，恒有则有()AABBC BACBCCABC90 DBAC904单位圆上三点A，B，C满足则向量的夹角为_答案：
35、120 第四节平面向量应用举例考纲要求：1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1向量在几何中的应用(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：ababa1b2a2b10(b0)(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0a1b1a2b20.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：cosa，b，|AB|.2向量在解析几何中的应用(1)向量a(a1，a2)平行于直线l，则直线l的斜率k(a10)(2)若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行3平面向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在
36、力的分解与合成中的应用(2)向量在速度的分解与合成中的应用(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：WFs.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) 答案：(1)(2)(3)(4)A钝角三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形3在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_解析：由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.答案：x2y404河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_解析：如图所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在静水中的速度，v表示小船的实际速度，则|v
37、2|2(m/s)答案：2 m/s ()A内心B外心C重心D垂心听前试做由原等式，得即根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心答案：C 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则的最小值为_解析：以D为原点，分别以DA、DC所在直线
38、为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPb，则D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，(2，b)，(1，ab)，则25(3a4b)2.由点P是腰DC上的动点，知0ba，因此当ba时，的最小值为25.的最小值为5.答案：5典题2已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程 ，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)所以动点M的轨迹方程为yx2(x0)向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线
39、上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法如图所示，直线x2与双曲线C：y21的渐近线交于E1，E2两点记e1，e2，任取双曲线C上的点P，若ae1be2(a，bR)，则ab的值为()A.B1C.D.解析：选A由题意易知E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)，又点P在双曲线上，(ab)21，整理可得4ab1，ab.向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其
40、独特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，以选择题、填空题或解答题的形式出现，且主要有以下几个命题角度：角度一：向量与三角恒等变换的结合典题3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.且ab(0,1)，则_，_.听前试做因为ab(0,1)，所以由此得，cos cos()由0，得0，又0，所以，.答案：解决此类问题的关键是根据向量间的关系把问题转化为三角函数的条件求值，然后利用三角函数的相关公式求解角度二：向量与三角函数的结合典题4设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种运算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已
41、知向量m，n.点P在ycos x的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则yf(x)在区间上的最大值是()A4B2C2D2 (x0，y0)x0，4y0，即xx0，y4y0，即x02x，y0y，所以ycos，即y4cos.因为点Q在yf(x)的图象上运动，所以f(x)4cos，当x时，02x，所以当2x0时，f(x)取得最大值4.答案：A解决此类问题的关键是利用向量的坐标运算，把问题转化为三角函数，化简三角函数关系式，然后研究三角函数的性质角度三：向量与解三角形的结合典题5已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(
42、1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值听前试做(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数yf(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1，又2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.解决此类问题
43、的关键是利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题课堂归纳感悟提升方法技巧1用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决2牢记以下4个结论 易错防范1注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价2注意向量共线和两直线平行的关系3利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况一、选择题1在ABC中，“ABC为直角三角形”是“0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选B若ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即不
44、一定等于0；若0，则ABBC，故角B为直角，即ABC为直角三角形，故“ABC为直角三角形”是“0”的必要不充分条件2已知点M(3,0)，N(3,0)动点P(x，y)满足0，则点P的轨迹的曲线类型为()A双曲线B抛物线C圆 D椭圆3已知非零向量a，b，满足ab，则函数f(x)(axb)2(xR)是()A既是奇函数又是偶函数B非奇非偶函数C偶函数D奇函数解析：选C因为ab，所以ab0，所以f(x)(axb)2|a|2x22abx|b|2|a|2x2|b|2，所以函数f(x)(axb)2为偶函数A三边均不相等的三角形B直角三角形C等边三角形D等腰非等边三角形解析：选C由知，角A的平分线与BC垂直，知
45、，cos A，A60.ABC为等边三角形5在ABC中，满足则角C的大小为()A.B.C.D.二、填空题6在ABC中，若则边AB的长等于_答案：27已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_解析：由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos ，又0，.答案：8设向量a(2cos ，2sin )，b(cos ，sin )，其中0，若以向量ab与a2b为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos()_.解析：由题意知，|ab|a2b|，所以a22abb2a24ab4b2，所以2abb2，即4cos ()1，所以cos().答
46、案：三、解答题9已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2SABC.(1)求角B的大小；(2)若b2，求ac的取值范围解：(1)由已知得acsin Baccos B，tan B，0B，B.(2)法一：由余弦定理得4a2c22accos ，即4(ac)23ac(ac)232(当且仅当ac时取等号)，解得0b，2ac4，ac的取值范围是(2,4法二：由正弦定理得asin A，csin C，又AC，ac(sin Asin C)sin Asin(AB)44sin.0A，A，sin1，ac的取值范围是(2,410已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求tan 2x的值；(2)求
47、函数f(x)(ab)b在上的值域解：(1)ab，sin x(1)cos x0，即sin xcos x0，tan x，tan 2x.(2)f(x)(ab)babb2sin xcos xcos2x1sin 2xcos 2x1sin.x0，2x0，2x，sin，f(x)在上的值域为.1设O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心)若则BAC的度数等于()A30B45C60D90 2若函数f(x)2sin(2x10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则()A32 B16 C16 D32解析：选D函数f(x)2sin(2x10)的图象如图所示由f(x)0，解得x4，即A(4,0)
48、，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，根据对称性答案：4已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m，n，且m与n的夹角为.(1)求角C；(2)已知c，SABC，求ab的值解：(1)因为向量m，ncos ，sin ，所以mncos2 sin2 ，|m|1，|n|1，又m与n的夹角为，所以cos cos2sin2 cos C，因为0C，所以C.(2)因为SABCabsin Cabsin ab，所以ab，所以ab6，由余弦定理得，cos C，即，解得ab.考点一：平面向量的线性运算2(2015陕西高考)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|a
49、b|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2解析：选B根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立3(2014福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 等于 ( )考点二：平面向量基本定理及坐标表示1(2015新课标全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：2(
50、2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)解析：选B由题意知，A选项中e10，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B，事实上，a(3,2)2e1e2.答案：考点三：平面向量的数量积1(2014新课标全国卷)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5解析：选A由条件可得，(ab)210，(ab)26，两式相减得4ab4，所以ab1.2(2015安徽高考)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足
51、则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)4(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2 C.a2 D.a2解析：选D由已知条件得aacos 30a2.A13 B15 C19 D21解析：选A，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系不妨设B，C(t,0)，则(4,1)，故点P的坐标为(4,1)(t4，1)4t171721713.当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13.6(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若，则()A. B. C. D.
52、7(2014山东高考)已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b 的夹角为 ，则实数m()A2 B. C0 D解析：选B根据平面向量的夹角公式可得，即3m，两边平方并化简得6m18，解得m，经检验符合题意.答案：29(2014山东高考)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_解析：根据平面向量数量积的概念得当A时，根据已知可得，故ABC的面积为sin .答案：10(2014四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析：由已知可以得到c(m4,2m2)，且cosc，acosc，b，所以，又|b|2|a|，所以2cacb，即24(m4)2(2m2)，解得m2.答案：2