1、教案1 3.5 等比数列的前n项和（一） 教学目标1、知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导过程，体会转化的思想；用方程的思想认识式，利用求和公式知三求一，与通项公式结合知三求二；通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.2、能力目标：通过公式的推导，培养学生观察、分析、类比、猜想、综合的能力.3、情感和态度：进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养实事求是的科学态度.教学重点和难点 重点是公式的推导及运用,难点是公式的推导思路.教学用具 多媒体课件教学方法 引导发现法教学过程 一、 故事引入印度舍罕王打算重赏国际象棋发明人大臣达依尔. 达依尔
2、说：“陛下，请您在这张棋盘上的第格内，赏给我粒麦子，在第格内给粒，第格内给粒，照这样下去，各小格内的麦粒都是前小格的倍，陛下，把这样摆满棋盘的所有64格麦粒，都赏给您的仆人吧！”.国王一听，认为大臣的要求真是太低了。问：你认为大臣的要求高不高？（欲擒故纵）可经过计算，事情的结果却大出国王的意料之外，即使拿出全印度的粮食，也无法实现自己的诺言！问：这是怎么回事？（创设悬念）（这是第三章数列序言中的内容，虽然对老师来说它是老故事，但对大部分学生来说是新故事.它能引发学生的认识冲突，诱发学生对过去的表面认知产生怀疑，并且急切想知道结果，有利于促进知识的迁移.）二、 公式推导问题1：大臣所得的麦粒数为
3、，怎样求？假设小麦1000粒重40克，那么国王要给发明者大约多少吨小麦？ （预案1）从简单开始：猜得：（预案2）所以估算：，国王要给发明者的小麦超过6400亿吨.（预案，是对学生的思考的一些估计，根据学生的回答来确定教学的流程.国王给发明者的小麦吨数放在课堂内估算，有利于改进原有的认识结构，进一步提高其学习本节内容的兴趣.）问题2：吗？(预案)反例：取，左右两边不相等.从简单开始：猜得：（首先由问题1、2中的两条和式的相似性“类比”得出结果的相似性，但类比是一种主观的不充分的似真推理，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证。然后从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验，由此做出一般
4、性结论的猜想.）问题3：问题1、2中的结论有何相似之处，能推广到的情况吗？(预案)将问题1的结论改写成，猜得:.只要证：.似曾相识：初中学过的平方差、立方差公式.（学习者能否形成良好的认知结构取决于学生原有的认知结构里是否具有清晰、可同化新的知识的生长点.）证明：=.当时，. 问题4：若是等比数列,它的前n项和如何用等基本量来表示?(预案) .追问:上面得到的答案是否正确? 当时,不正确.问题5: 能否不用问题3中得到的结论,直接推导出等比数列的前n项和的公式?(预案)受问题3中的证明的启发,的两边乘得: 的两边分别减去的两边得: .当时，. 也可以写成 当q=1时，指出这种推导方法称为错位相
5、减法, 的两边乘的目的在于“错位相减”.(先有问题3,再有问题5,使错位相减法的提出显得自然. )三、 公式的理解与应用阅读课本126页的内容.点明当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.(阅读课本的目的在于充分发挥教材的结构对学生的认知结构的建构过程中所起的作用,也是为了给学生整理、记忆公式及其推导方法的时间.)课堂练习: 已知,q, n, ,这5个量中的3个,求另外两个.题号qn1326280.50.53-1.549641.534.5重点对第4小题进行点评.方法1: 当时，,所以,解得(舍去),或.又当时,也合乎条件.所以或.(这里对先弃后取的过程,进一步强化公式适用的条
6、件,体现分类讨论的思想.)方法2: ,所以.解得或.(方法2,返璞归真,当项数较少时,不用公式反而简单.)例1 求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和.方法1：由. ,.所以从第5项到第10项的和为S10-S4=1008.方法2：由.将第5项看成首项,得从第5项到第10项的和为.(注意,从第5项到第10项有6项,而不是5项)例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列.一天内获知此信息的人数为:=1048575.例3 求和:.分析:设,不是等比数列
7、,不能直接用等比数列的前n项和的公式.用错位相减法求解.解: 的两边乘得: 的两边分别减去的两边得: .所以 . 评注: 若等差数列,是等比数列, ,则可以用错位相减法求的和. 四、小结1、等比数列的前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；2、用错位相减法求数列的前项和的适用范围.五、作业1、 课后习题3.5中的1、2.2、 求和: .3、 数学小论文: 推导等比数列的前n项和的多种方法.说明1、本节课，由故事引入，打破学生原有的认知平衡：原来这么大.通过公式推导又建立新的平衡:等比数列的求和公式不过是平方差、立方差公式的推广. 学生的认知结构在“平衡不平衡新的平衡”的循环中得到不断的丰富、提高和发展.2、公式推导过程中的类比和猜想，应该是学生主动提出各种假设并加以验证的过程.教师在这一过程中要成为学生建构意义的帮助者，其作用是激发学生的学习兴趣，帮助学生形成学习动机，不能用过多的讲述来代替学生的探究行为.