1、湖北省荆州市2022年高三10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A=x|2x4，则AB=()A. B. x|3x4C. x|x3D. x|3x42. 曲线y=1x+1+sin(2x)在点(0,1)处的切线斜率为()A. 1B. 1C. 0D. 33. 设命题p:x(0,4)，2x+x=18，命题q:每个三角形都有内切圆，则()A. p的否定：x(0,4)，2x+x=18B. p是真命题C. q的否定：存在一个三角形没有内切圆D. q是假命题4. 设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为()
2、A. 516B. 58C. 54D. 525. 在ABC中，D为BC边上的中点，E为直线AD上一点，则“AE=ED”是“|AE|=14|AB+AC|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则函数y=2f(12x)在,上的大致图象为()A. B. C. D. 7. 在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20，但当气温上升到31时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花
3、观花区，且该景区6时14时的气温T(单位：)与时间t(单位：小时)近似满足函数关系式T=25+10sin(8t+34)，则在6时14时中，观花的最佳时段约为()(参考数据：sin50.6)A. 6.7时11.6时B. 6.7时12.2时C. 8.7时11.6时D. 8.7时12.2时8. 设a=54ln54，b=15e15，c=14，则()A. abcB. bcaC. acbD. bac二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 设f(x12)=x21，且函数f(x12)的定义域为(12,+)，则()A. f(1)+f(2)=132B. 函数f(x)的定义域为(
4、0,+)C. 函数f(x)的值域为1,+)D. 函数f(x)在定义域内为增函数10. 若tan(2+7)=cossinsin+cos，则的值可能为()A. 28B. 328C. 2584D. 318411. 若由函数f(x)构造的数列an满足an=f(n)，nN，0a1+a2+an0,0,0f(x1+x22)，则称f(x)在区间D上的图象是凹的;若x1，x2D，x1x2，f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)，则称f(x)在区间D上的图象是凸的(1)判断函数f(x)=x2lnx在区间(0,+)上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论;(2)判断函数g(x)=x33x+1在区间(
5、0,1)上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=aex+x2(1)当a=2时，求f(x)在1,3上的值域;(2)若f(x)有两个零点x1，x2，且x1x20，证明：0a2lna.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的补集和交集，考查数学运算的核心素养【解答】解：因为A=x|x3，B=x|x4，所以AB=x|3x4. 2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养【解答】解：因为y=1x+1+sin2x，所以y=1(x+1)2+2cos2x，k=f(0)=1+2=13.【答案】C【解析】【分析
6、】本题考查命题的否定与命题真假的判定，属于一般题【解答】p是假命题，q是真命题;p的否定：x(0,4)，2x+x18;q的否定：存在一个三角形没有内切圆4.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，考查数学运算的核心素养【解答】解：设这个等差数列的公差为d，则(113)3=4d4，故d=5165.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量与充分、必要条件的判断，考查逻辑推理与直观想象的核心素养【解答】解：因为D为BC边上的中点，所以AD=12(AB+AC).若AE=ED，则AE=12AD=14(AB+AC)，则|AE|=14|AB+AC|.反之，由|AE|=14|AB+AC|，E为直线
7、AD上一点，可得AE=12AD，则AE=ED或AE=13ED.故“AE=ED”是“|AE|=14|AB+AC|”的充分不必要条件6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的变换，属于一般题【解答】将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2f(12x)的图象，根据y=f(x)的部分图象可知，只有选项C符合7.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的实际应用，考查逻辑推理的核心素养与应用意识【解答】解：当t6,14时，8t+3432,52，则T=25+10sin(8t+34)在6,14上单调递增设花开、花谢的时间分别为
8、t1，t2.由T1=20，得sin(8t1+34)=12，8t1+34=116，解得t1=2638.7时;由T2=31，得sin(8t2+34)=0.6sin5，8t2+34115，解得t11.6时故在6时14时中，观花的最佳时段约为8.7时11.6时8.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与导数的综合，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养【解答】解：设函数f(x)=(1x)ex1，x0,1)，则f(x)=xex0，所以f(x)在0,1)上单调递减，因此f(15)=(115)e151f(0)=0，即bcx(0,1)时，由f(x)=(1x)ex10，得0ex11x，因此xln11x，15ln54，
9、则1454ln54，即ca，故bc1，故f(x)=25x不是单位收敛函数若f(x)=2(x+2)2，则an=2(n+2)22(n+1)(n+2)=2(1n+11n+2)，0a1+a2+an=2(1213+1314+1n+11n+2)=2(121n+2)1，故f(x)=2(x+2)2为单位收敛函数若f(x)=(13)x+(14)x，则an=(13)n+(14)n，0a1+a2+an=13113(113n)+14114(114n)=12(113n)+13(114n)12+130，09时，lg(n+1)1，故f(x)=lg(1+1x)不是单位收敛函数12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查导数与
10、函数的综合应用，属于较难题【解答】f(x)=2(3x21)6x24x2=12x(x1)(3x+1)当13x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x13或0x1时，f(x)0，f(x)单调递减故f(x)的极大值为f(0)=1af(13)=2027a,f(1)=4a，所以f(x)的最小值为f(1)=4a，A正确，B错误f(x)零点个数最多为4，此时f(13)=2027a0，解得a(2027,1)，C正确f(x)a即(3x21)28x3aa，只需证(3x21)28x30，令(x)=(3x21)28x3，(x)=12x(x1)(3x+1)由(1)知(13)=2027,(0)=1,(1)=4，(x)=0
11、两根分别位于(0,1)与(1,+)中，因为f(0.2)=0.8821.60.04aa，f(1.4)=4.88281.43aa，所以不等式f(x)a的解的最大值与最小值之差小于1.40.2=1.2，D正确13.【答案】28【解析】【分析】本题考查平面向量中的平行与垂直，考查数学运算的核心素养【解答】解：因为a/b且bc，所以m14n=0,2n4=0,解得m=2814.【答案】2sinx2(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查函数的解析式与性质，是一道开放题，考查逻辑推理的核心素养【解答】解：2sinnx2或2sinnx2(n=2k+1,kN)均可15.【答案】33【解析】【分析】本题考查四面体的
12、体积与导数的实际应用，属于一般题【解答】因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，BCCD，BC平面ABC，所以CD平面ABC设AB=adm，则CD=(3a)dm，四面体ABCD的体积为V(a)dm3，则V(a)=13(3a)34a2=312(3a2a3)(0a3)，则V(a)=312(6a3a2).当0a0;当2a3时，V(a)0故V(a)max=V(2)=3316.【答案】1【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养【解答】解：因为y(1xy+3+12xy+1)=yxy+3+y2xy+1=1x+3y+12x+1y，x+3y+2x+1y=3x+4y
13、=4，所以y(1xy+3+12xy+1)=14(x+3y+2x+1y)(1x+3y+12x+1y)=14(2+2x+1yx+3y+x+3y2x+1y)14(2+2)=1，当且仅当x+3y=2x+1y，即x=45，y=52时，等号成立，所以y(1xy+3+12xy+1)的最小值是117.【答案】解：(1)设等比数列ann的公比为q，则q=a22a11=126=2，所以ann=(a11)2n1=32n，故an=32n+n(2)(方法一)Sn=622n+112+2n(n+1)2+1(1)n+11(1)=62n+1+n(n+1)+(1)n2252(方法二)当n为偶数时，Sn=622n+112+2n(n
14、+1)2=62n+1+n(n+1)12当n为奇数时，Sn=62n+1+n(n+1)121=62n+1+n(n+1)13【解析】本题考查等比数列性质、通项公式，数列求和18.【答案】(1)依题意可得3A=1,2=,解得=A=2，则f(x)=2cos(2x+)+3，因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以23+=k(kZ)，又00时，若x(,214a)，f(x)0则f(x)在(,214a)上单调递减，在(214a,+)上单调递增当a0;若x(214a,+)，f(x)0，因此C(2,)，且sinC=cosB，sinA=sin(B+C)=sin2B+cos2B=cos2B，a2+2b2c2=sin2
15、A+2sin2Bsin2C=cos22B+2sin2Bcos2B=(12cos2B)2+22cos2Bcos2B=4cos4B6cos2B+3cos2B=4cos2B+3cos2B624cos2B3cos2B6=436，当且仅当cos2B=32时，a2+2b2c2有最小值436【解析】本题考查解三角形，涉及和差公式，倍角公式，基本不等式和正弦定理21.【答案】解：(1)f(x)=x2lnx在区间(0,+)上的图象是凹的证明如下：x1，x2(0,+)，x1x2，则f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)=x12+x22212ln(x1x2)(x1+x22)2+lnx1+x22=(x1x2)24
16、+lnx1+x22x1x2，因为x1，x2(0,+)，x1x2，所以lnx1+x22x1x2ln2x1x22x1x2=0，且(x1x2)240，所以(x1x2)24+lnx1+x22x1x20，所以f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)0，即f(x1+x22)0，(x1+x2)2x1x240，所以g(x1)+g(x2)2g(x1+x22)g(x1)+g(x2)2，故g(x)=x33x+1在区间(0,1)上的图象是凸的【解析】本题主要考查新定义的函数，关键是对新定义的理解，属于较难题22.【答案】(1)解：当a=2时，f(x)=2ex+x2，则f(x)=ex2ex当x1,ln2)时，f(x)
17、0故f(x)min=f(ln2)=ln21，因为f(3)=1+2e3，f(1)=2e3f(3)，所以f(x)max=2e3，故f(x)在1,3上的值域为ln21,2e3(2)证明：因为f(x)有两个零点x1，x2，所以a0,f(lna)=lna10,解得0ae，又x1x20，不妨令x10x2，则f(0)=a20，所以0a2lna，只需证x12lnax2由(1)可知，x1(,lna)，x2(lna,+)，则2lnax20时，f(x)在(,lna)上单调递减，所以要证x12lnax2，只需证f(x1)f(2lnax2).因为f(x1)=f(x2)，所以f(x1)f(2lnax2)等价于f(x2)f(2lnax2)lna，则g(x)=2aexaex2lna=2a(ex+ex2lna).因为ex+ex2lna2ex+x2lna=2a，当且仅当x=lna时，等号成立，所以2a(ex+ex2lna)0，即g(x)在(lna,+)上单调递减，所以g(x)g(lna)=0故f(x1)=f(x2)2lna.【解析】本题考查利用导数研究函数的值域以及零点问题，属难题