1、题型专题(十三)点、直线、平面之间的位置关系空间线面位置关系的判断师说考点判断空间线面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理进行判断；(2)借助空间几何模型并结合有关定理进行判断典例，是两个平面，m，n是两条直线，有下列三个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立命题正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则l
2、n，由m知ml，从而mn，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确答案判断与空间位置关系有关的命题真假的2大方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定 演练冲关1(2016河南八市质检)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“ab”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为，bm，所以b，又直线a在平面内，所以ab；但直线a，m不一定相交，所以“ab”是“”的必要不
3、充分条件，故选B.2(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选A.空间中平行、垂直关系的证明师说考点1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP
4、，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.典例(2016山东高考)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF.如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF
5、.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.1证明线线平行的4种常用方法(1)利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行平行转换；(3)利用三角形的中位线定理证线线平行；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换2证明线线垂直的3种常用方法(1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质；(2)勾股定理；(3)线面垂直的性质：即要证
6、两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala. 演练冲关1(2016云南模拟)如图，在三棱锥ABCD中，CDBD，ABAD，E为BC的中点(1)求证：AEBD；(2)设平面ABD平面BCD，ADCD2，BC4，求三棱锥DABC的体积解：(1)证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，ABAD，AOBD.又E为BC的中点，EOCD.CDBD，EOBD.又OAOEO，BD平面AOE.又AE平面AOE，AEBD.(2)由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，BD2.由已知得SABDBD .三棱锥CABD的体积VCABDCDSABD.三棱
7、锥DABC的体积为.2(2016河南八市联考)如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EFAB，使AB2EF，且平面ABFE平面ABCD，若点G在CD上且满足DGGC.(1)求证：FG平面AED；(2)求证：平面DAF平面BAF.证明：(1)因为DGGC，ABCD2EF，ABEFCD，所以EFDG，EFDG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以FGED.又因为FG平面AED，ED平面AED，所以FG平面AED.(2)因为平面ABFE平面ABCD，平面ABFE平面ABCDAB，ADAB，AD平面ABCD，所以AD平面BAF，又AD平面DAF，所以平面DAF平面BAF.平面图形的折叠问题典例
8、(2016全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积解(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又
9、由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 演练冲关(2016开封模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，ADCDAB2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：AD平面BCD；(2)求三棱锥CABD的高解：(1)证明：平面ADC平面AB
10、C，且ACBC，BC平面ACD，即ADBC，又ADCD，AD平面BCD.(2)由(1)得ADBD，SADB2，三棱锥BACD的高BC2，SACD2，2h22，可解得h.空间几何体与其他知识的交汇本讲在高考中主要考查空间中的线、面平行与垂直的关系，考查学生的空间想象能力和推理能力近几年，空间几何体与圆、概率、函数、不等式等知识的交汇成为新的命题点典例如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值解(1)证明：在AOC
11、中，因为OAOC，D为AC的中点，所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面，所以POAC.因为DOPOO，DO，PO平面PDO，所以AC平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB2，所以ABC面积的最大值为211.又因为三棱锥PABC的高PO1，故三棱锥PABC体积的最大值为11.(3)在POB中，POOB1，POB90，所以PB.同理PC，所以PBPCBC.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示当O，E，C共线时，CEOE取得最小值又因为OPOB，CPCB，所以OC垂直平分PB，即E为PB的中
12、点从而OCOEEC，即CEOE的最小值为. (1)本题是立体几何与圆的交汇问题，在解题中多利用圆的直径所对的圆周角为直角这一性质(2)在求CEOE的最小值时，可利用“取直”思想，即立体几何中的平展与翻折的方法 演练冲关(2016东北四市联考)已知底面为正方形的四棱锥PABCD 内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥PABCD的体积最大时，四棱锥的高为()A. B1 C. D.解析：选C依题意，四棱锥PABCD为正四棱锥，设其底面边长为a，底面到球心的距离等于x，则x21，而正四棱锥的高为h1x，四棱锥的体积V(x)a2ha2(1x)(1x2)(1x)，其中x
13、(0，1)，(1x2)(1x)(22x)(1x)(1x)，当且仅当x时取等号四棱锥的高h1.一、选择题1已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EFGH.故选B.2已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是()A B C D解析：选B
14、两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确3(2016贵阳模拟)如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：选BA中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，AP平面AP
15、C，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.4(2016贵州模拟)已知，表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：若b，a，则“ab”是“a”的充分不必要条件；若a，b，则“”是“a且b”的充要条件判断正确的是()A，都是真命题B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题D，都是假命题解析：选B若b，a，ab，则由线面平行的判定定理可得a，反过来，若b，a，a，则a，b可能平行或异面，则b，a，则“ab”是“a”的充分不必要条件，是真命题；若a，b，则由面面平行的性质可得a，b，反过来，若a，b，a，b，则，可能平行或相交，所以，若a，b，
16、则“”是“a，b”的充分不必要条件，是假命题，选项B正确5.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()A BC D解析：选B对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC，又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC.对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC.对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱B1C1的
17、中点，动点P在底面ABCD内，且PA1A1E，则点P运动形成的图形是()A线段 B圆弧C椭圆的一部分 D抛物线的一部分解析：选B由PA1A1E知点P应落在以A1为球心，A1E长为半径的球面上又知动点P在底面ABCD内，所以点P的轨迹是底面ABCD与球面形成的交线，故为圆弧二、填空题7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_解析：由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.答案：平行8如图，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，则三棱锥DAEF 体积的最大值为_解析：因为DA平面
18、ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC，所以BCAF，又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB，又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE，设AFa，FEb，则AEF的面积Sab，所以三棱锥DAEF的体积V(当且仅当ab1时等号成立)答案：9(2016兰州模拟)、是两平面，AB、CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF.现有下列条件：AC；AC与、所成的角相等；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的
19、序号是_解析：由题意得，ABCD，A，B，C，D四点共面，AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；不能得到BDEF，故错误；由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知平面ABCD，又AB，AB平面ABCD，平面ABCD. 平面ABCD，平面ABCD，EF，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；由知，若BDEF，则EF平面ABCD，则EFAC，故错误，故填.答案：三、解答题10(2016广州五校联考)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上(1)求
20、证：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中点，求证：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，试求的值解：(1)证明：由E是AD的中点，PAPD可得ADPE.又底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD，又因为E是AD的中点，所以ADBE，又PEBEE，所以AD平面PBE.(2)连接AC，交BD于点O，连接OQ.因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.则VPBCDES四边形BCDEh1，VQABCDS四边形ABCDh2.又因为VPBCDE2VQABCD，且S四边形
21、BCDES四边形ABCD，所以.11(2016昆明七校联考)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH；(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN.M，N分别是BC，GH的中点，OMCD，且OMCD，NHCD，且NHCD，OMNH，OMNH，则四边形MNHO是平行四边形，MNOH，又MN平面BDH，OH平面BD
22、H，MN平面BDH.(3)由(2)知OMNH，OMNH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，体积比等于底面积之比，即31.12.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC.(1)求证：平面EBC平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，且3EMEC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为AD1，CD2，AC，所以AD2CD2AC2，所以ADC为直角三角形，
23、且ADDC.同理，因为ED1，CD2，EC，所以ED2CD2EC2，所以EDC为直角三角形，且EDDC.又四边形ADEF是正方形，所以ADDE，又ADDCD，所以ED平面ABCD.又BC平面ABCD，所以EDBC.在梯形ABCD中，过点B作BHCD于点H，故四边形ABHD是正方形，所以ADB45，BD.在RtBCH中，BHCH1，所以BC，故BD2BC2DC2，所以BCBD.因为BDEDD，BD平面EBD，ED平面EBD，所以BC平面EBD，又BC平面EBC，所以平面EBC平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T，使得MT平面BDE，此时3BTBC.连接MT，在EBC中，因为，所以MTEB.又MT平面BDE，EB平面BDE，所以MT平面BDE.