1、73球填一填1.球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆有以下性质：(1)若平面过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆(2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OP，即此时截线是以O为圆心，以r为半径的球的小圆2球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线如图，l为球O的切线，M为切点(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所有切线的长度都相等3球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S4R2体积公式VR3判一判1.球的体积是关于球半径的一个函数()2球的表面积是关于球半径的一个
2、函数()3球的表面积等于球的体积的6倍()4决定球的大小的因素是球的半径()5球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()6球的体积V与球的表面积S的关系为VS.()7正方体的外接球的半径等于它的体对角线()8球的半径扩大到原来的2倍，则它的表面积增大到原来的2倍()想一想1.怎样由三视图求球的体积与表面积？提示：(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接
3、，避免重叠和交叉等2求解球的截面问题的方法归纳提示：设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解3求球的表面积与体积的一个关键和两个结论提示：关键：把握住球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方4常见的与球有关的切接问题有哪些？提示：(1)正方体的内切球球与正
4、方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2a，如图.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2Ra.思考感悟：练一练1.半径为3的球的体积是()A9 B81C27
5、 D36答案：D2把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A2倍 B2倍C.倍 D.倍答案：B3如果三个球的半径之比是1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的_倍答案：4若火星的半径与地球的半径之比是1：2，则地球表面积与火星表面积之比是_，体积之比是_答案：4：18：1知识点一球的体积与表面积的计算1.若一个球的体积为，则该球的表面积为_解析：设该球的半径为R，则R3，解得R2，所以该球的表面积S4R216.答案：162(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积解析：(1)设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR3
6、43.(2)设球的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.知识点二根据三视图计算球的表面积与体积3.某几何体的三视图如图，它的体积为()A72B48C30 D24解析：由三视图可知是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的几何体V3243330.故选C.答案：C4某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，求该几何体的表面积与体积解析：由三视图可知，此几何体是一个由半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成的几何体S4126221224(m2)VV半球V正方体13238(m3).知识点三球的截面问题5.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积
7、是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析：根据球的截面的性质，得球的半径R5(cm)，所以V球R3(cm3)答案：C6一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积解析：当截面在球心的同侧时，如图1所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1AO1，OO2BO2.设球的半径为R，O2B249，O2B7 cm.同理，得O1A20 cm.设OO1x cm，则OO2(x9)cm.在RtO1OA中，R2x2202，在RtOO2B中，R272(x9)2，联立可得x15，R25.S球4R22
8、500(cm2)，故球的表面积为2 500 (cm2)当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1AO2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1O1A，OO2O2B.设球的半径为R，O2B249，O2B7 cm.O1A2400，O1A20 cm.设O1Ox cm，则OO2(9x) cm.在RtOO1A中，R2x2400.在RtOO2B中，R2(9x)249.x2400(9x)249，解得x15，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为2 500 cm2.知识点四内切体与外接球问题7.如果球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则该球的表面积为_解析：设球的半径为r.
9、正方体的内切球的球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，所以有2ra，r，所以球的表面积S4r2a2.答案：a28正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A. B.C. D16解析：如图，正四棱锥PABCD中，PE为四棱锥的高，根据球的相关知识可知，四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，因为底面边长为4，所以AE2，设球半径为R，在RtAEO中，AE2OE2AO2，即(2)2(6R)2R2，解得R，则S4R242，故选B.答案：B综合知识球的体积和表面积9.已知一个三棱锥的所有棱长均为，求该三棱锥的内切球的体积解析：如图，
10、AE平面BCD，设O为正四面体ABCD内切球的球心，则OE为内切球的半径，设OAOBR，又正四面体ABCD的棱长为，在等边BCD中，BE，所以AE.由OB2OE2BE2，得R22，解得R，所以OEAER，即内切球的半径是，所以内切球的体积为3.10某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解析：该组合体的表面积S4r22rl41221310，该组合体的体积Vr3r2l13123.基础达标一、选择题1若一个球的直径为2，则此球的表面积为()A2 B16C8 D4解析：因为R1，所以球的表面积S4R24.答案：D2若将气球的半径扩大
11、到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A2倍 B4倍C8倍 D16倍解析：设气球原来的半径为r，体积为V，则Vr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为(2r)38r3.答案：C3一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S()A32 B322C282 D28解析：由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S4423222232.答案：A4如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积S1和球的表面积S2之比为()A4：3 B3：1C3：2 D9：4解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r.则ODr，PO2r，PDO90，CPB30，又
12、PCB90，CBPCr，PB2r，圆锥的侧面面积S16r2，球的表面积S24r2，S1：S23：2.答案：C5已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是()A4 B3C2 D5解析：BD，AC2，CDODOC1.解得R3.答案：B6长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上，已知AB3，AD4，BB15，那么球O的表面积为()A25 B200C100 D50解析：由长方体的体对角线为外接球的直径，设球半径为r，则2r5，则r，4r24250.答案：D7圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径
13、相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图)，则球的半径是()A. cm B2 cmC3 cm D4 cm解析：设球的半径为r，则V水8r2，V球4r3，加入小球后，液面高度为6r，所以r26r8r24r3，解得r4.故选D.答案：D二、填空题8若一个球的体积为4，则它的表面积为_解析：设球的半径为R，则R34，解得R，则表面积S4()212.答案：129过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48 cm2，则球的表面积为_cm2.解析：易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.由截面面积为48 cm2，可得AC4 c
14、m.设OAR，则OCR，所以R22(4)2，解得R8 cm.故球的表面积S4R2256(cm2)答案：25610如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知该几何体是一个组合体，上半部分是半径为1的球的，其体积V113；下半部分是底面半径为1，高为1的圆柱，其体积V2121.所以该几何体的体积VV1V2.答案：11底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为_解析：正四棱锥PABCD外接球的球心在它的高PO1上，记为O，OPOAR，PO14，OO14R，或OO1R4(此时O在PO1的延长
15、线上)在RtAO1O中，R28(R4)2得R3，所以球的表面积S36.答案：3612已知PA，PB，PC两两垂直且PA，PB，PC2，则过P，A，B，C四点的球的体积为_解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为3，即球半径为，V球R3.答案：三、解答题13如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积解析：S球4228(cm2)，S圆台侧(25)35(cm2)，S圆台下底5225(cm2)，即该几何体的表面积为8352568(cm2)又V圆台(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)所以该几何体
16、的体积为V圆台V半球52(cm3)14某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3)，每个钢球重145 kg，并且外径等于50 cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的如果是空心的，请你计算出它的内径(取3.14，结果精确到1 cm,2.24311.240 98)解析：由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9 3516 792(g)，街心花园中钢球的质量为145 000 g，而145 000516 792，所以钢球是空心的设球的内径为2x cm，那么球的质量为7.9145 000.解得x311 240.98，所以x22.4,2x45(cm)即钢球是空心的，其内径约为45 cm.能
17、力提升15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解析：作出轴截面，如图所示，当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.16已知球心到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球的半径的一半，且ACBC6，AB4，求球的表面积和体积解析：如图，设球心为O，球的半径为R，作OO1垂直平面ABC于点O1，由于OAOBOCR，则O1是ABC的外心，即O1AO1BO1C.设M是AB的中点，连接CM，由于ACBC，则O1在CM上设O1Mx，易知O1MAB，则O1A，O1CCMO1M4x.又O1AO1C，所以4x，解得x，则O1AO1BO1C.在RtOO1A中，O1O，OO1A90，OAR.由勾股定理得22R2，解得R.由S球4R254，V球R327.