1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。27.2抛物线的几何性质第1课时抛物线的几何性质必备知识自主学习导思1.抛物线的几何性质主要有哪些？2.焦半径的性质有哪些？抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标FFFF准线方程xxyy顶点坐标O(0，0)离心率e1(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？提示：抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线
2、；它没有中心，也没有渐近线(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？提示：这条线段是抛物线的通径，长度为2p，借助于通径可以画出较准确的抛物线1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)抛物线焦点到准线的距离等于p.()(2)抛物线的范围是xR，yR.()(3)抛物线是轴对称图形()提示：(1).抛物线焦点到准线的距离等于p.(2).抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y22px(p0)的范围是x0，yR，故此说法错误(3).抛物线y22px(p0)的对称轴为x轴，抛物线x22py(p0)的对称轴为y轴，故此说法正确2抛物线yx2的焦点坐标为()A B(4，0)C D(0，4
3、)【解析】选D.因为抛物线yx2，所以x216y，所以抛物线的焦点坐标为(0，4).3已知过抛物线y2ax(a0)的焦点且垂直于x轴的弦长度为2，则实数a的值为()A4 B2 C1 D0【解析】选B.由题意可得焦点F，将x代入抛物线方程可得y2，解得y，所以a2.4已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线y22x上，则这个正三角形的边长是_【解析】由题意得，正三角形另外两个顶点关于x轴对称，设一个顶点坐标为，边长为a，则有tan ，解得y02，再由正弦定理sin ，解得a4.答案：4关键能力合作学习类型一由抛物线的几何性质求标准方程(数学运算)【典例】1.顶点在原点，对称轴为y轴
4、，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()Ax216y Bx28yCx28y Dx216y2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y3已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_【解析】1.选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py，x22py(p0)，由顶点到准线的距离为4，知p8，故所求抛物线的方程为x216y或x216y.2选C.设抛物线方程为y22px
5、或y22px(p0)，依题意将x或x代入y22px或y22px，得|y|p，所以2|y|2p8，p4.所以抛物线方程为y28x或y28x.3因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为xy0.所以抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以p8，所以所求的抛物线方程为x216y.答案：x216y用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程【补偿训练】已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，
6、AOB的面积为，求抛物线的标准方程【解析】由已知得2，所以4，解得，即渐近线方程为yx.而抛物线准线方程为x，于是A，B，从而AOB的面积为p，可得p2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y24x.类型二焦点弦问题(逻辑推理)【典例】已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离四步内容理解题意条件：已知抛物线方程及过抛物线焦点的直线结论：求弦长及线段的中点到准线的距离思路探求(1)写出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立求得坐标，利用弦长公式求得弦长(2)利用抛物线定义结合焦点
7、弦的长度求得中点横坐标书写表达(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60，又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得4x220x90，解得x1，x2，故|AB|248.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.易错关注点：联立方程组，消元时一定要确保正确性；会应用根与系数的关系求弦长或解决中点弦问题，避免求解交点的烦琐运算题后反思提示：已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B
8、(x2，y2)，则有：(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p，|AF|x1.(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切1抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0.2.过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方
9、程联立、消元，由根与系数的关系求出x1x2即可过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得抛物线的焦点是F(1，0)，p2，所以直线AB的方程是yx1，联立消去y得x26x10，所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.类型三抛物线几何性质的简单应用(数学运算)【典例】已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作直线AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标【思路
10、导引】(1)利用抛物线的定义求出p；(2)求出直线FA和MN的方程，联立解方程组【解析】(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以点N的坐标为.利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题(4)焦点：解决焦点弦问题已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点
11、，O为坐标原点，若|OA|OB|，且ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程【解析】抛物线的焦点F，因为抛物线关于x轴对称，|OA|OB|，所以ABO为等腰三角形，所以A，B两点关于x轴对称，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，因为ABO的垂心恰为抛物线的焦点，所以BFOA.则kBFkOA1，即1.又因为y2px0，所以x0p，所以直线AB的方程为x.备选类型抛物线中的最值问题(数学抽象、直观想象)【典例】求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小值【思路导引】方法一：(代数法)设出抛物线上的动点，转化为函数求最值；方法二：(几何法)数形结合思想转化为两条平行线间的距离求解【解
12、析】方法一：设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离d3(t)2.所以当t时，d有最小值.方法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，所以1612m0，所以m.所以最小距离为.与抛物线相关的最值的求法(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决课堂检测素养达标1. 若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3 C4 D8【解析】选D.因为椭圆
13、的焦点为(，0)，抛物线的焦点为，由已知可得，解得p8.2若抛物线x28y上一点P(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0()A B C1 D2【解析】选D.因为P(x0，y0)到焦点的距离dy02，则y022y0，解得y02.3若抛物线y22px(p0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是()Ap1 Bp1 Cp2 Dp2【解析】选D.设P点为抛物线上的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，所以1，即p2.4设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_【解析】由抛物线y22px(p0)，得焦点F的坐标为，则FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得，2p1，所以p，所以B点到准线的距离为p.答案：5已知定点A(3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y22x上移动，则的最小值等于_【解析】设P，则y22x，因为A，B，所以x2y29x22x910，故当x0时，取得最小值为9.答案：9关闭Word文档返回原板块
