1、第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用函数(图象)刻画实际问题中两变量的变化过程1,2一次函数、二次函数模型4,5函数y=x+(a0)模型10指数函数模型3,8,9,11分段函数模型6,7,9,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有(A)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图是匀速的,故
2、下面的图象不正确,中的变化率是越来越慢的,正确;中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有是错误的.2.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(B)解析:根据题意得解析式为h=20-5t(0t4),其图象为B.3.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的时,需要经过(C)(A)5年(B)4年(C)3年(D)2年解析:由指数函数模型知（）x=,解得x=3.4.(2014高考北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
3、“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(B)(A)3.50分钟(B)3.75分钟(C)4.00分钟(D)4.25分钟解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.5.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内
4、接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(C)(A)15,20(B)12,25(C)10,30(D)20,30解析:如图所示,过A作AGBC于G,交DE于F,则=,=,又=,所以=,AF=x,FG=40-x,阴影部分的面积S=x(40-x)300,解得10x30.故选C.6.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12),4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2, S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是(C)解析:设CD=x,则
5、S=x(16-x)(4x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资).解析:当x20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x20时,y=260-100-x=160-x,故y=xN*.当020时,160-x0且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳. (1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.解:(1)t(0,14时,设p=f(
6、t)=c(t-12)2+82(c0),将(14,81)代入得c=-,t(0,14时,p=f(t)=-(t-12)2+82;t14,40时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=,所以p=f(t)=(2)t(0,14时,由-(t-12)2+8280,解得12-2t12+2,所以t12-2,14,t(14,40时,由lo(t-5)+8380,解得50).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.解题关键:利用二次函数的图象与性质求解.解析:由题意得L=-（+）=-（-）2(x0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.答案:42.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据道路交通安全法规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,此人至少经过小时才能开车.(精确到1小时)解题关键:建立简单的指数不等式求解.解析:设经过x小时才能开车.由题意得0.3(1-25%)x0.09,所以0.75x0.3,xlog0.750.35.答案:5