1、2016-2017学年湖北省宜昌一中高二（下）3月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A3+4iB34iC3+4iD34i2命题：“x00，使2（x0a）1”，这个命题的否定是（）Ax0，使2x（xa）1Bx0，使2x（xa）1Cx0，使2x（xa）1Dx0，使2x（xa）13设aR，则“a=2”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4如图程序框图的
2、算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A0B2C4D145齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）ABCD6如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆7已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A或BCD
3、或8欧阳修煤炭翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）ABCD9设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A，B2，2C1，1D4，410已知函数f（x）=x3px2qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）（）A极大值是，极小值是0B极大值为0，极小值为C极大值为0，极小值为D极大值为，极小值为11双曲线的离
4、心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为（）ABCD12已知定义在（0，）上的函数f（x），f（x）为其导函数，且f（x）f（x）tanx恒成立，则（）A f（）f（）B f（）f（）C f（）f（）Df（1）2f（）sin1二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13已知函数，则曲线上过点（1，2）处的切线方程为 14为了响应国家号召，某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计
5、相应的生产能耗为 吨15观察下列等式：1=1+=+1+=+据此规律，第n个等式可为 16设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则OAB面积的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（
6、单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组0，30），30，60）60，90）90，120）120，150）150，180）180，210）210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列22列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生 住校生 10 合计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第组、第组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第组第组各有1人的概率1
7、9设函数f（x）=x3x2+6xa（1）对于任意实数x，f（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围20已知点F是拋物线C：y2=2px（p0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数21已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求SABM的最大值22已知函数f（x）=lnxx（1）
8、求f（x）的单调区间及最大值；（2）若数列an的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a1a2a3ane（e为自然对数的底数）2016-2017学年湖北省宜昌一中高二（下）3月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A3+4iB34iC3+4iD34i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解：复数z满足z=3+4i，z的共轭复数=34i故选：D2命题：“x00，使2（x0a）1”，这个命题
9、的否定是（）Ax0，使2x（xa）1Bx0，使2x（xa）1Cx0，使2x（xa）1Dx0，使2x（xa）1【考点】2J：命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题的否定为x0，使2x（xa）1，故选：B3设aR，则“a=2”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当a=2时，两直线方程分别为
10、l1：2x+2y1=0与直线l2：xy+4=0满足，两直线平行，充分性成立当a=1时，满足直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，必要性不成立，“a=2”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A4如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A0B2C4D14【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件ab，输出a的值为2【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满
11、足条件ab，不满足条件ab，b=4满足条件ab，满足条件ab，a=10满足条件ab，满足条件ab，a=6满足条件ab，满足条件ab，a=2满足条件ab，不满足条件ab，b=2不满足条件ab，输出a的值为2故选：B5齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）ABCD【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举
12、法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆【考点】K2：椭圆的定义【分析】根据CD
13、是线段MF的垂直平分线可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线|MP|=|PF|，|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|FO|，根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆故选A7已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A或BCD或【考点】K4：椭圆的简单性质；KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由等比数列的性质计算可得m=4，分2种情况讨论：当m=4时，圆锥曲线表示椭圆，当m=4时，圆锥曲
14、线表示双曲线，分别求出此时的离心率，综合可得答案【解答】解：根据题意，m是两个正数2，8的等比中项，则有m2=28=16，解可得m=4，当m=4时，圆锥曲线表示椭圆，其中a=2，b=1，则c=，其离心率e=；当m=4时，圆锥曲线表示双曲线，其中a=1，b=2，则c=，其离心率e=；则其离心率为或；故选：D8欧阳修煤炭翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）ABCD【考点】CF
15、：几何概型【分析】由题意分别求圆和正方形的面积，由几何概型的概率公式可得【解答】解：由题意可得铜钱的面积S=（）2=，边长为0.5cm的正方形孔的面积S=0.52=，所求概率P=故选：A9设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A，B2，2C1，1D4，4【考点】K9：抛物线的应用；I3：直线的斜率；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；K8：抛物线的简单性质【分析】根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围【解答】解：y2=8x，Q（2，0）（Q为准线与x轴的交点
16、），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）l与抛物线有公共点，有解，方程组即k2x2+（4k28）x+4k2=0有解=（4k28）216k40，即k211k1，故选C10已知函数f（x）=x3px2qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）（）A极大值是，极小值是0B极大值为0，极小值为C极大值为0，极小值为D极大值为，极小值为【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】对函数求导可得，f（x）=3x22pxq，由f（1）=0，f（1）=0可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x22pxq，由f（1）=0，f（
17、1）=0可得，解得，f（x）=x32x2+x由f（x）=3x24x+1=0，得x=或x=1，当x1或x时，函数单调递增；当时，函数单调递减当x=时，f（x）取极大值，当x=1时，f（x）取极小值0，故选A11双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为（）ABCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的离心率，求出m的值，可得双曲线的两条渐近线方程，抛物线方程，联立求出交点坐标，即可求出三角形的面积【解答】解：双曲线的离心率，=3，m=2，双曲线的两条渐近线方程为y=x，抛物线方程为y2=2x，联立可得交点坐标为（4，2），所求三角形的面积为=
18、8故选：C12已知定义在（0，）上的函数f（x），f（x）为其导函数，且f（x）f（x）tanx恒成立，则（）A f（）f（）B f（）f（）C f（）f（）Df（1）2f（）sin1【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）g（）g（1）g（），整理后即可得到答案【解答】解：解：因为x（0，），所以sinx0，cosx0，由f（x）f（x）tanx，得f（x）cosxf（x）sinx，即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x）=，x（0，
19、），则g（x）=0所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，则g（）g（）g（1）g（），即，对照选项，A应为，C应为f（），D应为f（1）2f（）sin1，B正确故选B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13已知函数，则曲线上过点（1，2）处的切线方程为2x+y4=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出f（x）的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线的方程【解答】解：函数的导数为f（x）=，可得在（1，2）处切线的斜率为2，曲线上过点（1，2）处的切线方程为y2=2（x1），即为2x+y4=0故答案为：2x+y4=014为了
20、响应国家号召，某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨【考点】BK：线性回归方程【分析】由表中数据，计算、，利用线性回归方程过样本中心点（，）求出a的值，写出线性回归方程，计算x=7时，的值即可【解答】解：由表中数据，计算得=（3+4+5+6）=4.5， =（2.5+3+4+4.5）=3.5，且线性回归方程=0.7x+a过样本中心点（，），即3.5=0.74.5+a，解得a=0.35，x、y的线性
21、回归方程是=0.7x+0.35，当x=7时，估计生产7吨产品的生产能耗为=0.77+0.35=5.25（吨）；故答案为：5.2515观察下列等式：1=1+=+1+=+据此规律，第n个等式可为+=+【考点】F1：归纳推理；81：数列的概念及简单表示法【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为其等式右边为后n项的绝对值之和即可得出【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为其等式右边为后n项的绝对值之和第n个等式为： +=+16设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则OAB面积的最小值为【考点】K8：抛物线的
22、简单性质【分析】当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小，代值计算即可【解答】解：抛物线焦点为（，0），当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小，将x=代入y2=3x，解得y=，故SOAB=2=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】2E：复合命题的真假；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又pq为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2
23、）先由p是q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围【解答】解：（1）当a=1时，p：x|1x3，q：x|2x3，又pq为真，所以p真且q真，由得2x3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：x|ax3a（a0），q：x|2x3，所以解得1a2，所以实数a的取值范围是（1，218为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区
24、间分为八组0，30），30，60）60，90）90，120）120，150）150，180）180，210）210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列22列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生301545住校生451055合计7525100据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第组、第组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第组第组各有1人的概率【考点
25、】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可【解答】解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，8），由图可知：P1=，P2=，学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=，由题意：n=5n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，P4=1（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，第组的高度为：h=，频率分布直方图如右图（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利
26、用时间不充分的有40人，从而22列联表如下： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生30 15 45 住宿生45 10 55 总计75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算，得 K2=3.030，因为3.0303.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）记第组2人为A1、A2，第组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件空间=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第组、第组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有：A1B
27、1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，P（A）=，即抽出的2人中第组第组各有1人的概率为19设函数f（x）=x3x2+6xa（1）对于任意实数x，f（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围【考点】3R：函数恒成立问题；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f（x）的最小值，使f（x）minm成立即可（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极小值大于零即可【解答】解：（1）f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），因为x（，
28、+），f（x）m，即3x29x+（6m）0恒成立，所以=8112（6m）0，得，即m的最大值为（2）因为当x1时，f（x）0；当1x2时，f（x）0；当x2时，f（x）0；所以当x=1时，f（x）取极大值；当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2a；故当f（2）0或f（1）0时，方程f（x）=0仅有一个实根、解得a2或20已知点F是拋物线C：y2=2px（p0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0
29、+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAMkBM=当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAMkBM=，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，p的值；（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x
30、，当直线l经过点Q（3，1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，），则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAMkBM=当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AM的斜率kAM=，同理直线BM的斜率kBM=，kAMkBM=，设直线l的斜率为k（k0），且经过Q（3，1），则直线l的方程为y+1=k（x3），联立方程，消x得，ky2y3k1=0，y1+y2=，y1y2=3，故kAMkBM=，综上，直线AM与直线BM的斜率之积为21已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k0）的直线n交椭圆
31、C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求SABM的最大值【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆离心率，点在椭圆C上，建立方程组，求解a2，b2，则椭圆的方程可求；（2）确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值【解答】解：（1）设椭圆方程为（ab0），则椭圆离心率，点在椭圆C上，解得a=2，b=1，椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则kOA、k
32、、kOB成等差数列，m（x1+x2）=0，m=0，直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，|AB|=M到y=kx的距离为d=S=S2=，（S2）=，k，（S2）0，k1，（S2）0，k1，（S2）0，k=时，S取得最大值22已知函数f（x）=lnxx（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）若数列an的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a1a2a3ane（e为自然对数的底数）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）根据ln xx1，得到ln an=ln（1+），累加即可【解答】（1）解：因f（x）=ln xx，所以f（x）=1=当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；f（x）的最大值为1（2）证明：由（1）知，当x0时，f（x）f（1）=1，即ln xx1当且仅当x=1时才能取等号因为an=1+（nN*），an大于零且不等于1，所以ln an=ln（1+）令k=1，2，3，+，n，这n个式子相加得：ln a1+ln a2+ln an+=11即ln （a1a2a3+an）1，所以a1a2a3ane2017年6月17日