1、专题05 双曲线小题专项练习一、巩固基础知识1双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】渐近线方程为，即，又顶点坐标，则顶点到渐近线的距离为，故选C。2已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，故选C。3已知双曲线：的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】、，设，则，则，则，则，故选B。4“”是“方程表示双曲线”的( )。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当时，方程
2、表示双曲线，当时，方程也表示双曲线，故选A。5若双曲线：(，)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，该双曲线的渐近线方程为，故选A。6若，定义使方程“”表示的曲线以为渐近线的角为“等轴角”，则等轴角 。【答案】或【解析】由题意可知，又，则或。7若双曲线：(，)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为 。【答案】【解析】，则，(当且仅当时取等号)，则最小值为。二、扩展思维视野8已知圆经过双曲线：的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线的中心的距离为( )。A、或B、或C、D、【答案】D【解析】由双曲线性质可得圆经过双曲线同侧的顶点和焦点
3、，设过右焦点和右顶点，则圆心的横坐标为，代入双曲线，则解得，点到原点的距离，故选D。9已知点是双曲线：(，)的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】根据对称性中，若是锐角三角形，则为锐角，即在中，得，又，则，即，两边都除以得，即，即，又，则，故选A。10设、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点，使得，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，即，在中，又，故选C。11已知双曲线：的离心率为，则实数的值为 。【答案】【解析】，解得。
4、12已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的左支于、两点，则的最小值为 。【答案】【解析】，两式相加得，当且仅当轴时取等号，最小值为。13设、是双曲线：(，)的两个焦点，是上一点。若，且的最小内角为，则的离心率为 。【答案】【解析】设为双曲线右支上一点，则，又，则，的最小内角，由余弦定理得，即，。14已知双曲线：的左、右焦点分别是、，点(，)在其右支上，且满足，则的值是 。【答案】【解析】，即，又，即，又恒成立，则，则数列是以首项为，公差为的等差数列，即，则。三、提升综合素质15已知是双曲线：()的右焦点，为坐标原点，设是双曲线上一点，则的大小不可能是( )。A、B、C、D、【答案
5、】C【解析】，两条渐近线倾角为、，则或，故选C。16已知点、是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支与点、两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】为等边三角形，则，设的边长为，则，则，则，故选A。17我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决。如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题。结合上述观点，可得方程的解为 。【答案】【解析】，其几何意义为动点到定点和的距离之差的绝对值为，动点即为双曲线与的交点，则，即，。18已知双曲线：(，)离心率为，、分别为左、右顶点，点为
6、双曲线在第一象限内的任意一点，点为坐标原点，若、的斜率分别为、，设，则的取值范围为 。【答案】【解析】，则，设，则，又双曲线的渐近线方程为，。19已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于、两点，若，则满足条件的的条数为 。【答案】【解析】，则，若、都在右支上，当垂直于轴时，将代入得，则，满足，若、分别在两支上，两顶点的距离为，满足的直线有条，且关于轴对称，综上有条。20若双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支相交于、两点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则 。【答案】【解析】，。21如图所示，在半径为的半圆内有一内接梯形，它的下底为圆的直径，上底的端点在圆周上，若双曲线以、为焦点，且过、两点，则当梯形周长最大时，双曲线的实轴长为 。【答案】【解析】，设，作于点，则，则梯形周长，当，即时周长有最大值，这时，双曲线的实轴长为。