1、一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力函数是中学数学的重要组成部分它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学
2、教学的重点，也是高考考查的重点近年来，函数的分值占30%左右函数是高中代数的主线它体系完整，内容丰富，应用广泛由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质，包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题指数函数与对数函数都是初等超越函数在历年的高考题中出现的频率较大出现在小题时是较基本的考查
3、方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度通过本章的学习达到以下基本目标：了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a
4、0，且a1)互为反函数了解幂函数的概念，结合函数yx(1，2，3，1)的图象，了解它们的变化情况二、主干知识 (一)指数与指数幂的运算1整数指数幂的概念(1)正整数指数幂的意义： (2)零指数幂：a01(a0)(3)负整数指数幂：an(a0，nN*)2整数指数幂的运算性质：amanamn；(am)namn；(ab)nanbn.3如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n0，且nN*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时a的n次方根用符号表示(2)方根的性质：当n是奇数时，a；当n是偶数时，|a|4分数指数幂(1)正数的分数指数幂的意义：设a0，m，nN*，
5、n1，规定a ，a .(2)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义5有理指数幂的运算性质：(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(二)指数函数及其性质1函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量2指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质(见下表)：函数yax(a1)yax(0a1)图象定义域RR值域定点过点(0，1)过点(0，1)单调性单调递增单调递减(三)对数与对数运算1如果axN(a0，a1)，那么数x叫做以a为底N的对数记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数对数式的
6、书写格式：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N；(2)以无理数e2.718 28为底的对数，叫自然对数，并把自然对数logeN简记为ln N.2指数与对数的关系：设a0，且a1，则axNlogaNx.3对数的性质(1)在指数式中N0，故0和负数没有对数，即式子logaN中N必须大于0；(2)设a0，a1，则有a01，所以loga10，即1的对数为0；(3)设a0，a1，则有a1a，所以logaa1，即底数的对数为1.4对数恒等式(1)如果把abN中的b写成logaN形式，则有alogaNN；(2)如果把xlogaN中的N写成ax形式，则有logaaxx.5
7、对数的运算性质设a0，a1，M0，N0，则有：(1)loga(MN)logaMlogaN，简记为：积的对数对数的和；(2)logalogaMlogaN，简记为：商的对数对数的差；(3)logaMnnlogaM(nR)(四)对数函数及其性质1函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象、性质(见下表)：函数ylogax(a1)ylogax(0a1)图象定义域RR值域RR单调性增函数减函数过定点(1，0)(1，0)(1)当a1时，若x1，则logax0，若0x1，则logax0；(2)当0a1时，若0x1，则logax0，若x1，则logax
8、0.3函数yax与ylogax(a0，且a1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称(五)幂函数1形如yx(R)的函数叫做幂函数，其中为常数只研究为有理数的情形2幂函数yx，yx，yx2，yx1，yx3的图象如下图所示3幂函数的性质(1)幂函数在(0，)都有定义，并且图象都过点(1，1)(2)当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸(3)当0时，幂函数的图象在区间(0，)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴4图象
9、形状：当0(1)时，图象为抛物线型；当0时，图象为双曲线型；当0，1时，图象为直线型1正数的分数指数幂的意义：设a0，m，nN*，n1，规定：a，a，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2有理指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)例1 设函数f1(x)x，f2(x)x1，f3(x)x2，则f1(f2(f3(2 015)_.解析：f1(f2(f3(2 015)f1(f2(2 0152)f1(2 0152)1)(2 0152)1)2 0151.答案：跟踪训练1若x0，则(2x3)(2x3)4x_.1
10、解析：由平方差公式化简即得答案答案： 272设a0，b0，计算4ab_.26a3幂函数yf(x)的图象经过点，则满足f(x)27的x的值是_3.1设a0，且a1，则axNlogaNx；alogaNN; logaaxx.2设a0，a1, M0，N0 ，则有：(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)3设a0，a1，b0，b1，则logax.例2 设2a5bm，且2，则m()A. B10C20 D100解析：由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m210，又m0，m.故选A.答案：A
11、跟踪训练4已知函数f(x)log2(x1)，若f()1，则()A0 B1 C2 D34解析：12，故1，故选B.答案：B 52log510log50.25()5解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252.答案：CA0 B1 C2 D46已知函数f(x)则f()A4 B.C4 D6解析：根据分段函数可得flog32，则ff(2)22，所以B正确答案：B7设g(x)则g_.7解析：ggeln .答案：1指数函数yax(a0，且a1)的定义域是R，值域是，过定点(0，1)当a1时，指数函数yax是R上的增函数；当0a0，且a1)的定义域是，值域是R，过定点(1，
12、0)当a1时，对数函数ylogax是上的增函数；当0a0时，yf (x)是减函数，并且f (1)0f (2)，则方程f (x)0的实根的个数是_个16.2二、转化与化归的思想例6设a，b，试比较a、b的大小解析：如果比较ab与0或与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断由于a、b两数的结构特点可构造函数f(x)，则af(33)，bf(34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小f(x).3x1在R上递增，在R上递减 f(x)在R上递减 f(33)f(34)，即ab.跟踪训练17设函数f(x)2(log2x)22alog2b，若x时，f(x)的最小值为8，求a，
13、b的值17解析：f(x)2(log2x)22alog2xb22b.当log2x时，f(x)取得最小值b.log2且b8，解得a2，b6.所求a，b的值分别为2，6.18已知函数f(x)loga(a0，且a1)(1)求函数的定义域；(2)求使f(x)0的x的取值范围18解析：(1)由0，得2x10，即2x1，x0.函数的定义域为(0，)(2)loga0，当a1时，1，2x11，即2x2，x1；当0a1时，01，02x11，即12x2，0x1.综上，当0a1时，x的取值范围是(0，1)；当a1时，x的取值范围是(1，)19某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示假设其关系为指数函数
14、，并给出下列说法：此指数函数的底数为2；在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；设野生水葫芦蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3, 则有t1t2t3；野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度其中正确的说法有 _ (填序号)19三、分类讨论思想例7若a0，且a1，ploga(a3a1)，qloga(a2a1)，则p、q的大小关系为()ApqBpqDa1时，pq；0a1时，p1时，a3a1a2a1，此时loga(a3a1)loga(a2a1)，即pq.当0a1时，a
15、3a1loga(a2a1)，即pq.可见，不论a1还是0aq.答案：C跟踪训练20已知函数f(x) 若f(a)，则a()A1 B.C1或 D1或20解析：讨论a0和a0两种情况答案：C21已知函数f(x)logax在2，上的最大值比最小值大1，则a等于()A. B.C.或 D不同于A、B、C答案21解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a的取值有关，故应对a进行分类讨论(1)当a1时，f(x)在2，上是增函数，最大值是f()，最小值是f(2)，据题意，f()f(2)1，即logaloga21，a.(2)当0a或0xg(x)(2)当1即x时，f(x)g(x)(3)当1x或x，即1x时，f(x)g(x)综上所述：当x(0，1)时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)23已知f(x)loga(ax1)(a0且a1)(1)求定义域；(2)讨论函数的单调区间23解析：(1)由ax10ax1，当a1时，函数定义域为(0，)，当0a1时，函数定义域为(，0)(2)当a1时，设0x1x2ax21ax110，loga(ax21)loga(ax11)f(x2)f(x1)当a1时，函数在(0，)上是增函数，同理可知当0a1时，函数在(，0)上也是增函数点评：底数含字母a，要进行分类讨论
