1、第十章计数原理10.1排列、组合组基础题组1.(2015浙江温州一模,3)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()A.B.C.D.2.(2015南昌二模)安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人.考虑到义工与老人住处距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,安排方法共有()A.30种B.40种C.42种D.48种3.(2015浙江重点中学协作体摸底)某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.324.(2015浙江调
2、研模拟试卷自选模块三(镇海中学),04(1)4名男生3名女生排成一排,若3名女生需要有2名排在一起,但不能全排在一起,则不同的排法种数为()A.2880B.3080C.3200D.36005.(2015浙江五校第一次联考)设an是等差数列,从a1,a2,a20中任取3个不同的数,使这3个数仍成等差数列,则这样不同的等差数列的个数最多为()A.90B.120C.180D.2006.(2015河南高考适应性测试)3对夫妇去看电影,6个人坐成一排.若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性,则坐法的种数为()A.54B.60C.66D.727.(2016湖北荆门调考,12,5分)含有甲、乙、丙的六位同学站成
3、一排,则甲、乙相邻且甲、丙两人中间恰有两人的站法的种数为()A.72B.60C.32D.248.(2015浙江诸暨三都综合高中摸底测试)如图,用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()A.400种B.460种C.480种D.496种9.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)10.(2015浙江重点中学协作体高考摸底)把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且某人分得的两张票必须是连号,那么不同
4、的分法种数为.(用数字作答)11.(2015浙江六校联考自选模块,04(1)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是.12.(2015江苏南京检测,9)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).13.(2015四川南充高三第一次高考适应性考试,13)南充市教科所派出4名调研员到3个县,调研该县的高三复习备考情况,要求每个县至少一名,则不同的分配方案有种.14.(2015河南洛阳模拟,18,12分)有5个同学排队,问:(1)甲、乙2个同学必须相邻的排法有多少种?(2)甲、乙、丙
5、3个同学互不相邻的排法有多少种?(3)乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面的排法有多少种?(4)甲不站在中间位置,乙不站在两端的排法有多少种?15.(2015河北石家庄第一次调研,19,12分)某医科大学的学生中,有男生12名、女生8名在某市人民医院实习,现从中选派5名学生参加青年志愿者医疗队.(1)某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同的选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法?(4)医疗队中男生和女生都至少有一名,有多少种选法?B组提升题组1.(2015湖北七市4月联考)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机
6、准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法种数为()A.12B.18C.24D.482.(2015济南模拟)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有()A.48种B.72种C.96种D.108种3.(2015兰州双基)从6名男医生、5名女医生中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种4.(2015贵州遵义模拟)从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表,若甲、乙2人至少有1人入选,则不同的选法有()A.40种B.
7、60种C.96种D.120种5.(2015浙江调研模拟试卷自选模块四(绍兴一中),04(1)书架上有不同的数学书与不同的外文书共7本,若取2本数学书,1本外文书借给3位同学,每人一本,共有72种不同的借法,则数学书与外文书的本数分别为 ()A.4,3B.3,4C.5,2D.2,56.(2015浙江台州质检,8)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有()A.51个B.54个C.12个D.45个7.(2016山西八校联考,7,5分)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言,要求甲、乙两人至少有一
8、人参加.当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为()A.360B.520C.600D.7208.(2015浙江金华调研,6)将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有()A.12种B.20种C.40种D.60种9.(2015洛阳期末)将5名实习老师分配到4个班级任课,每班至少1人,则不同的分配方案有种.(用数字作答)10.(2016广东八市联考,16,5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法
9、的种数为.11.(2015浙江名校(金华一中)交流卷自选模块(六),04(2)某学生希望参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,其中甲、乙两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考甲、乙这两所学校,则该学生不同的报考方法种数是(用数字作答).12.(2015北京海淀二模,10)某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有种不同的抽调方法.13.(2015浙江调研模拟试卷自选模块一(诸暨中学),04(2)A,B,C,D,E,F六位同学和一位数学老师站成一排合影留念,数学老师穿白色文化衫,A,B和C,D分别穿白色和黑色文化衫,
10、E和F分别穿红色和橙色文化衫.若老师站中间,穿着相同颜色文化衫的都不相邻,则不同的站法种数为.14.(2015河南郑州检测,20,12分)有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定要担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不但任数学课代表.15.(2015河北唐山模拟,19,12分)某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其
11、中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?组基础题组1.A不相邻问题用插空法,8名学生先排有种排法,产生9个空,2位老师插空有种排法,所以共有种排法.故选A.2.C当B照顾老人甲时,有=24种安排方法;当B照顾老人丙时,有=18种安排方法,所以一共有42种安排方法,故选C.3.C先排3辆需要停的车有种,排完后有4个空,把4个剩余的车位捆在一起,选一个空放有种,所以共有=24(种).故选C.4.A不同的排法种数为=2880.5.C本题难点在于对题意的理解,不妨从
12、特殊情况入手:当取到a1时,因为an是等差数列,所以第三个数只能从a3,a5,a19共9个中选择,而第二个数由一,三两个数唯一确定;同理,当取到a2时,因为an是等差数列,所以第三个数只能从a4,a6,a20共9个中选择;同理,当取到的是a3,a4时有8个数列,当取到的是a17,a18时有1个,所以共有29=90个.又由于交换顺序也可以,所以总共有180个.6.B当女性有3人相邻时,有2(+1)=36种坐法;当女性只有2人相邻时,有2(1+1)=24种坐法,所以共有36+24=60种坐法,故选B.7.B由题意知关于甲、乙、丙三人的相对位置共有以下几种站法:乙甲丙,丙甲乙,甲乙丙,丙乙甲,再加上
13、其余三人,站法共有2+2(+)=60种.8.C从A开始,A有6种方法,B有5种,C有4种,D、A同色有1种,D、A不同色有3种,不同的涂法共有654(1+3)=480种,故选C.9.答案1560解析同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039=1560条毕业留言.10.答案96解析共有=96种分法.11.答案108解析先选一个偶数字排在个位,有3种选法;若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,有2=24个,若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,有3=12个.算上个位为偶数的排法,共有3(24+12)=108个.12.答案336解析3个人各站一级
14、台阶有=210种站法;3个人中有2个人站在一级,另一人站在另一级,有=126种站法,共有210+126=336种站法.13.答案36解析根据题意可得有=36种不同的分配方案,故答案为36.14.解析(1)(捆绑法)先排甲、乙,有种排法,再与其他3名同学排列,共有=48(种)不同排法.(2)(插空法)先排其他的2名同学,有种排法,出现3个空,将甲、乙、丙插空,所以共有=12(种)排法.(3)这是顺序一定问题,由于乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面,故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列.解法一:5人的全排列共有种排法,甲、乙、丙3人全排列有种排法,而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种,所以共
15、有=20(种)排法;解法二(插空法):先排甲、乙、丙3人,只有一种排法,然后插入1人到甲、乙、丙中,有4种插法,再插入1人,有5种插法,故共有45=20(种)排法.(4)(间接法)5个人的全排列有种,其中甲站在中间有种排法,乙站在两端时有2种排法,甲站在中间同时乙站在两端时有2种排法,所以一共有-2+2=60(种)排法.15.解析(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816(种).(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8568(种).(3)分两类:甲、乙中只有一人参加,则有种选法;甲、乙两人都参加,则有种选法.故共有+=6936(种).(4)解法一(直接法):男生和女生都至少有一名的选
16、法可分为四类:1男4女;2男3女;3男2女;4男1女.所以共有+=14656(种).解法二(间接法):由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数,得-(+)=14656(种).B组提升题组1.C把甲、乙看作1个元素和除甲,乙,丙,丁外的1架飞机全排列,共有=4种方法;再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中,有=6种方法,由分步计数原理可得总的方法种数为46=24.2.B如图所示,若点B与D处所染颜色相同,则不同的染色方法有4322=48种;若点B与D处所染颜色不相同,则不同的染色方法有43211=24种.由分类加法计数原理可知不同的染色方法总数为48+24=72种.3.C从
17、6名男医生中选出2名有=15种不同的选法,从5名女医生中选出1名有=5种不同的选法,根据分步乘法计数原理可得,组成的医疗小组共有155=75种不同的选法,故选C.4.C从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表,没有限制条件时共有=120种选法,甲、乙都没入选相当于从4人中选3人,有=24种选法,故甲、乙2人至少有1人入选的不同的选法有120-24=96种.故选C.5.B设数学书有n本,则有=72,n(n-1)(7-n)=24,检验知B符合.6.A分三类:第一类,没有2,3,由其他三个数字组成三位数,有=6(个);第二类:只有2或3,需从1,4,5中选两个数字,可组成2=36(个);第三
18、类:2,3均有,再从1,4,5中选一个,因为2需排在3的前面,所以可组成=9(个).故这样的三位数共有51个,故选A.7.C当甲、乙只有一人参加时,不同的发言顺序的种数为2=480,当甲、乙同时参加时,不同的发言顺序的种数为=120,则不同的发言顺序的种数为480+120=600,故选C.8.C(消序法)五个元素没有限制全排列数为,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故排列数有2=40(种).9.答案240解析依题意,满足题意的不同分配方案共有=240种.10.答案472解析分两种情况:(1)不取红色卡片,有(-3)种.(2)取红色卡片1张,有种.所以不同的取法有-3+=
19、472种.11.答案16解析该学生甲、乙这两所学校都不报考,有=4种报考方法;该学生报考甲、乙这两所学校中的一所,有=12种报考方法.故该学生不同的报考方法种数是16.12.答案84解析解法一(分类法):在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分成三类:一类是从某1个车队抽调3辆,有种,一类是从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有种;一类是从3个车队中各抽调1辆,有种.故共有+=84(种)抽调方法.解法二(隔板法):由于每个车队的车辆均多于4辆,所以只需将10个份额分成7份.可将10个小球排成一排,在相互之间的9个空中插入6个隔板,即可将小球分成7份,故共有=8
20、4(种)抽调方法.13.答案160解析按先排白色,再排黑色,最后排红色和橙色的顺序进行,白色分下面4种情况:白白白此时两个黑色有-1种位置;白白白此时两个黑色有-2种位置;白白白此时两个黑色有种位置;白白白此时两个黑色有-1种位置.所以共有(4-4)=160种排法.14.解析(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(+)种,排列方法有种,所以满足题意的选法有(+)=5400(种).(2)除去该女生后,相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表,有=840(种)选法.(3)先选后排,从剩余的7名学生中选出4名有种选法,排列方法有种,所以选法共有=3360(种).(4)先从除去该男生和该女生的6
21、人中选出3人,有种选法,该男生的安排方法有种,其余3人全排列,有种,因此满足题意的选法共有=360(种).15.解析(1)从余下的34种商品中,选取2种有=561(种),某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有=5984(种)或者-=5984(种),某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种,有=2100(种).恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)选取2种假货有种,选取3种假货有种,共有选取方式+=2100+455=2555(种).至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)解法一(直接法):有2种假货在内,不同的取法有种;有1种假货在内,不同的取法有种;没有假货在内,有种,因此共有选取方式+=6090(种).解法二(间接法):选取3种假货的种数为,因此共有选取方式-=6545-455=6090(种).至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.