1、2.4.1 抛物线的标准方程A基础达标1经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28yBy2x或y28xCy28x Dx28y解析：选A因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x.当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y.2已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析：选C因为点A在抛物线的准线上，所以2，所以该抛物线的焦点为F(2，0)，所以kAF.
2、3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2C4 D8解析：选A由题意知抛物线的准线方程为x.因为|AF|x0，所以根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.4已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A BC2 D1解析：选D由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.
3、5在同一坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致是()解析：选Da2x2b2y21其标准方程为1，因为ab0，所以0)的准线相切，则p_解析：由题意知圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x，由题意知34，所以p2.答案：27在抛物线y212x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_解析：由方程y212x，知焦点F(3，0)，准线l：x3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|3x.又|PF|9，所以3x9，x6，代入y212x，得y6.所以所求点的坐标为(6，6)，(6，6)答案：(6，6)，(6，6)8已知F是抛物线y2x的焦
4、点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析：因为|AF|BF|xAxB3，所以xAxB.所以线段AB的中点到y轴的距离为.答案：9根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，2)在抛物线上，且|AF|3.解：(1)由题意知p5，则2p10，因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故方程为y210x或y210x或x210y或x210y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由|AF|3，得23，所以p2，所以抛物线的标准方程为x24y.10如图，已知抛物线y22px
5、(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，所以kAF，则FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则MN的方程为yx2.解方程组得所以N.B能力提升11若动点P与定点F(1，1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线解析
6、：选D法一：设动点P的坐标为(x，y)则.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，所以x3y20.所以动点P的轨迹为直线法二：显然定点F(1，1)在直线l：3xy40上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线12抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，所以B点坐标为.又点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：613如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽是多少米？解：以拱顶为坐标原点建立平
7、面直角坐标系(图略)，设抛物线的方程为x22py(p0)，由题意知抛物线过点(2，2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为x22y，当水面下降1米时，为y3，代入抛物线方程得x，所以此时水面宽为2 m.14(选做题)已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，动圆M和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心M的轨迹方程解：如图，作MK垂直于直线x1，垂足为K，延长MK与直线x2交于点H，则|KH|1，设圆M的半径为r，则|MH|r1.又动圆M和圆A外切，所以|MA|r1，所以|MH|MA|，故点M到圆心A(2，0)的距离和到直线x2的距离相等，根据抛物线的定义知点M的轨迹是以A(2，0)为焦点的抛物线，故2，即p4，所以点M的轨迹方程为y28x.
