1、3.3.1函数的单调性与导数问题导学一、利用导数研究简单函数的单调性及求单调区间活动与探究1(1)函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A B(，2)C D(2，3)(2)求函数f(x)x2ln x的单调区间迁移与应用1证明函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数2求函数f(x)的单调区间(1)求函数f(x)单调区间的步骤是：先确定定义域，再求出f(x)，最后通过解不等式f(x)0和f(x)0求出单调区间正确运用求导公式对函数进行求导，准确熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功(2)当函数的增减区间有多个时，区间之间不能用并集符号合并，也不能用“或”，应该用“，”隔开或
2、用“和”(3)如果在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)是常数函数如果在某个区间内只有有限个点使f(x)0，其余点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形与增函数的情形类似)二、原函数和导函数图象之间的关系活动与探究2函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是()A2,3)BC1,2D迁移与应用已知导函数f(x)的下列信息：当1x3时，f(x)0；当x3和x1时，f(x)0；当x1和x3时，f(x)0试画出函数f(x)图象的大致形状注意图形语言、符号语言之间的转化及应用在某个区间内导函数值的正负影响着原函数的单调性，即在
3、某个区间内f(x)0(或f(x)0)也就是f(x)的图象在x轴的上方(或下方)，则函数在该区间内是增函数(或减函数)三、求含参数的函数的单调区间活动与探究3(1)已知a，b为常数，且a0，函数f(x)axbaxln x，f(e)2(e2.718 28是自然对数的底数)求实数b的值；求函数f(x)的单调区间(2)已知函数f(x)2x3tx23t2x(t0)，求f(x)的单调区间迁移与应用已知函数f(x)ax2ln x(aR)，求f(x)的单调区间讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的
4、标准四、已知函数的单调性求参数的取值范围活动与探究4已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上是单调递增的，求实数a的取值范围迁移与应用1已知函数f(x)x3ax在1，)上是单调减函数，则a的最大值为()A1 B2 C3 D42若函数f(x)x3mx22m25的单调减区间是(9,0)，则m_(1)由函数的单调性求参数范围时的注意事项：函数的单调性是函数的重要性质，也是高中阶段研究的重点若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下：以增函数为例来说明：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定即f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件f(x)0时，f(x)0是
5、f(x)为增函数的充分必要条件f(x)为增函数，一定可以推出f(x)0，但反之不一定，即f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件(2)mf(x)恒成立mf(x)max，mf(x)恒成立mf(x)min答案：课前预习导学【预习导引】1f(x)0f(x)0f(x)0预习交流1提示：在某个区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性例如函数f(x)x3在定义域(，)上是增函数，但由f(x)3x2知，f(0)0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f(x)0从而可导函数f(x
6、)在(a，b)上递增(递减)的充要条件是f(x)0(f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零2(1)定义域(2)f(x)0(4)符号预习交流2提示：(，1)和(1，)(1,1)3(1)导数的绝对值较大(2)大于锐角递增小于钝角递减预习交流3提示：(0，)(，0)课堂合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可B解析：ycos xxsin xcos xxsin x，若yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y恒大于零即可只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立(2)思路分析：求函数的单调区间，即求定义
7、域上满足f(x)0或f(x)0的区间解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xx0，x10令f(x)0，得xf(x)的单调递增区间为由f(x)0，得x又x(0，)，f(x)的单调递减区间是迁移与应用1证明：f (x)，f(x)又x(0,2)，ln xln 21故f(x)0即函数在区间(0,2)上是单调递增函数2解：函数f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)因为x(，2)(2，)，所以ex0，(x2)20由f(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0得x3又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)活动与探究
8、2思路分析：当f(x)0时，f(x)递减，从而由图象找出递减区间即可A解析：求f(x)0的解集，即求函数f(x)在上的单调减区间由图象可知yf(x)的单调减区间为，2,3)迁移与应用解：当1x3时，f(x)0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x3和x1时，f(x)0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x1和x3时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示活动与探究3(1)思路分析：准确求出函数的导函数，并对参数a的正负进行讨论，进而确定f(x)0，f(x)0的解集解：由f(e)2得b2由可得f(x)ax2axln x从而f(x)aln x，因
9、为a0，故：当a0时，由f(x)0得x1，由f(x)0得0x1；当a0时，由f(x)0得0x1，由f(x)0得x1综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)思路分析：正确对函数f(x)进行求导，求出f(x)0的根，对根的大小进行讨论，进而求出f(x)0，f(x)0的解集解：f(x)6x23tx3t23(2xt)(xt)令f(x)0，得xt或xt0，以下分两种情况进行讨论：若t0，则t由f(x)0，得x或xt；由f(x)0，得xt若t0，则t由f(x)0，得xt或x；由f(x)0，
10、得tx当t0时，f(x)的递增区间为，(t，)，递减区间为；当t0时，f(x)的递增区间为(，t)，递减区间为迁移与应用解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax当a0时，f(x)0恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)0，得x又x0，0x由f(x)0，得x或x又x0，x综上所述，当a0时，f(x)的递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的递增区间为，递减区间为活动与探究4思路分析：先求出f(x)，则由题意知f(x)0在区间2，)上恒成立，从而转化为恒成立问题解：要使f(x)在2，)上是增函数，则f(x)0在x2，)时恒成立，即0，2x3a0，当x2，)时，a2x3恒成
11、立a(2x3)minx2，)，y2x3是增函数，(2x3)min16，a16当a16时，f(x)0且只有f(2)0，实数a的取值范围是a16迁移与应用1C解析：由已知f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在x1，)上恒成立，a3，a的最大值为32解析：f(x)3x22mx，令f(x)3x22mx0，则(9,0)是3x22mx0的解集，3(9)22(9)m0，m当堂检测1yxln x在(0,5)上是()A单调增函数B单调减函数C在上单调递减，在上单调递增D在上单调递增，在上单调递减答案：C解析：yxln x1ln x，令y0可得，令y0可得故选C2函数yx2ln x的单调递减区间为()A
12、(1,1 B(0,1C1，) D(0，)答案：B解析：对函数求导，得(x0)，令解得x(0,1因此函数yx2ln x的单调递减区间为(0,1故选B3设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()答案：D解析：由已知f(x)在(，0)上递增，在(0，)上，f(x)先增后减再增f(x)在(，0)上的函数值为正，f(x)在(0，)上的函数值先正后负再正，故D正确4已知f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_答案：解析：令f(x)12cos x0，则cos x又x(0，)，x5若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_答案：解析：由f(x)x3x2mx1在R上单调，又f(x)3x22xm，则f(x)在R上只能单调递增412m0，提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记