1、第1页第5讲 三角函数 第2页考 向 调 研 第3页 任意角的三角函数的定义 设 是一个任意角，的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是rx2y2.则sin yr，cos xr，tan yx.第4页三角函数在各象限的符号 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2 cos2 1.(2)商数关系：tan sincos(2 K，KZ)第5页诱导公式的记忆规律 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”“偶”指的是诱导公式K 2 中的整数K是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若K是奇数，则正、余弦互变；若K为
2、偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在K 2 中，将 看成锐角时，K2 所在的象限 第6页 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 函数 ysinx ycosx ytanx 图象 第7页正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(KZ)函数 性质 ysinx ycosx ytanx 定义域 R R x|xK 2，KZ 值域 1，1 1，1 R 对称性 对称轴：直线xK 2；对称中心：(K，0)对称轴：直线xK；对称中心：(K 2，0)无对称轴；对称中心：(k2，0)第8页最小正 周期 2 2 单调性 单调增区间：2K 2，2K 2；单调递减区间：2K 2，2K 32 单调递增区间：2K ，2K；单调递
3、减区间：2K，2K 单调递增区间：(K 2，K 2)最值 当x2K 2 时，y取最小值1；当x2K2 时，y取最大值1 当x2K 时，y取最小值1；当x2K时，y取最大值1 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 第9页 yAsin(x)的图象变换(A0，0)(1)ysinx相位变换 ysin(x)周期变换 ysin(x)振幅变换 yAsin(x)(2)ysinx周期变换 ysin x相位变换 ysin(x)振幅变换 yAsin(x)第10页 【说明】前一种方法第一步相位变换是向左(0)或向右(0)或向右(0)平移|个单位长度，要严格区分，对yAcos(x)，yAtan(x)同样适用 第11页 三角恒等变
4、换中常用的公式(1)两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos sin；(S )sin()sin cos cos sin；(S )cos()cos cos sin sin；(C )cos()cos cos sin sin；(C )第12页tan()tan tan1tan tan；(T )tan()tan tan1tan tan.(T )(2)二倍角公式 sin2 2sin cos；(S2)cos2 cos2 sin2 2cos2 112sin2；(C2)tan2 2tan1tan2.(T2)第13页 辅助角公式 asin bcos a2b2sin()，其中cos aa2b2，s
5、in ba2b2.两角和与差的正切公式的变形 tan tan tan()(1tan tan)；tan tan tan()(1tan tan)第14页(1)升幂公式 1cos 2cos22；1cos 2sin22.(2)降幂公式 sin2 1cos22；cos2 1cos22.其他常用变形 sin2 2sin cossin2 cos2 2tan1tan2；第15页cos2 cos2 sin2cos2 sin2 1tan21tan2；1sin(sin2 cos2)2；tan2 sin1cos 1cossin.三角函数式的化简与求值的原则与技巧(1)化简的基本原则：能求值的尽量求值；使三角函数的种类
6、尽量少；第16页 使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含有三角函数(2)化简中“次数”与“角”的关系：“次降角升”“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次 第17页(3)化简中的常用技巧：“1”的代换，1sin2 cos2，12cos2 cos2，1cos2 2sin2，1tan4 等；用“弦化切”“切化弦”的方法来减少三角函数的种类；利用辅助角公式将形如asin bcos 的式子化为只含有一个三角函数的形式 a2b2sin()第18页 1(2016课标全国)若将函数y2sin2x的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Axk2 6(KZ
7、)Bxk2 6(KZ)Cxk2 12(KZ)Dxk2 12(KZ)第19页答案 B 解析 函数y2sin2x的图象向左平移 12 个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y2sin2(x 12)，令2(x 12)K2(KZ)，解得xk2 6(KZ)，所以所求对称轴的方程为xk2 6(KZ)故选B.第20页2(2016课标全国)若cos(4)35，则sin2()A.725 B.15 C15 D 725 第21页 答案 D 解析 因为cos(4 )cos4 cos sin4 sin 22(sincos)35，所以sin cos 3 25，所以1sin2 1825，所以sin2 725.故选D.第2
8、2页3(2016课标全国)若tan 34，则cos2 2sin2()A.6425 B.4825 C1 D.1625 第23页答案 A 解析 方法一：由tan sincos 34，cos2sin21，得sin 35，cos45或sin 35，cos45，则sin2 2sin cos 2425，则cos22sin2 162548256425.第24页 方法二：cos22sin2 cos24sin coscos2sin214tan1tan2 131 9166425.第25页4(2016课标全国)函数ysinx3 cosx的图象可由函数ysinx3 cosx的图象至少向右平移_个单位长度得到 答案 2
9、3 解析 函数ysinx3 cosx2sin(x 3)的图象可由函数ysinx3 cosx2sin(x 3)的图象至少向右平移 23 个单位长度得到 第26页5(2017课标全国)已知曲线C1：ycosx，C2：ysin(2x23)，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6 个单位长度，得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2 第27页C把C1上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6 个单位长度，得到曲线C2 D把C1上各点的横
10、坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2 第28页答案 D 解析 易知C1：ycosxsin(x2)，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数ysin(2x2)的图象，再把所得函数的图象向左平移 12 个单位长度，可得函数ysin2(x12)2 sin(2x23)的图象，即曲线C2.故选D.第29页6(2017课标全国)函数f(x)sin2x3cosx34(x0，2)的最大值是_ 答案 1 解析 依题意，f(x)sin2x 3cosx34cos2x 3cosx14(cosx32)21，因为x0，2，所以cosx0，1，
11、因此当cosx 32 时，f(x)max1.第30页7(2018课标全国)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()A.4 B.2 C.34 D 第31页答案 A 解析 方法一：f(x)cosxsinx2 cos(x 4)，且函数ycosx在区间0，上单调递减，则由0 x 4 ，得 4x34.因为f(x)在a，a上是减函数，所以a4，a34，解得a4，所以0a4，所以a的最大值是4.故选A.第32页方法二：因为f(x)cosxsinx，所以f(x)sinxcosx，则由题意，知f(x)sinxcosx0在a，a上恒成立，即sinxcosx0，即2 sin(x 4)0在a，a
12、上恒成立，结合函数y 2sin(x4)的图象可知有a4 0，a4 ，解得a4，所以0a4，所以a的最大值是4.故选A.第33页8(2018课标全国)已知sin cos 1，cos sin0，则sin()_ 答案 12 解析 sin cos 1，cossin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin coscos sin)1，sin()12.第34页9(2018课标全国)函数f(x)cos(3x 6)在0，的零点个数为_ 答案 3 解析 由题意知，令cos(3x 6)0，所以3x 6 2 K，KZ，所以
13、x9 k3，KZ，当K0时，x9；当K1时，x 49；当K2时，x 79，均满足题意，所以函数f(x)在0，上的零点个数为3.第35页10(2019课标全国，文)tan255()A2 3 B2 3 C2 3 D2 3 答案 D 解析 由正切函数的周期性可知，tan255tan(18075)tan75tan(3045)33 11 332 3，故选D.第36页11(2019课标全国，文)函数f(x)sin(2x32)3cosx的最小值为_ 答案 4 解析 f(x)sin(2x32)3cosxcos2x3cosx12cos2x3cosx2(cosx34)2178，因为cosx1，1，所以当cosx1
14、时，f(x)取得最小值，f(x)min4.第37页12(2019课标全国)下列函数中，以2 为周期且在区间(4，2)上单调递增的是()Af(x)|cos2x|Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|第38页答案 A 解析 函数f(x)|cos2x|的周期为 2，当x(4，2)时，2x(2，)，函数f(x)单调递增，故A正确；函数f(x)|sin2x|的周期为2，当x(4，2)时，2x(2，)，函数f(x)单调递减，故B不正确；函数f(x)cos|x|cosx的周期为2，故C不 第39页 正确；f(x)sin|x|sinx，x0，sinx，x0，由正弦函数的图象知，在
15、 x0和 x0 时，f(x)均以 2 为周期，但在整个定义域上 f(x)不是周期函数，故 D 不正确故选 A.第40页13(2019课标全国，文)已知 (0，2)，2sin2 cos2 1，则 sin()A.15 B.55 C.33 D.2 55 第41页 答案 B 解析 由 2sin2 cos2 1，得 4sin cos 12sin21，即 2sin cos 1sin2.因为 (0，2)，所以 cos 1sin2，所以 2sin1sin21sin2，解得 sin 55.故选 B.第42页14(2019课标全国，文)函数 f(x)2sinxsin2x0 在0，2 的零点个数为()A2 B3 C
16、4 D5 第43页答案 B 解析 函数 f(x)2sinxsin2x 在0，2的零点个数，即 2sinxsin2x0 在区间0，2的根个数，即 2sinxsin2x，令左右为新函数 h(x)和 g(x)，h(x)2sinx和 g(x)sin2x，作图求两函数在区间0，2的图象可知：h(x)2sinx 和 g(x)sin2x，在区间0，2的图象的交点个数为 3，故选 B.第44页 命题规律：(1)三角函数求值，恒等变换(2)三角函数图象变换(3)三角函数的性质 第45页 已知函数 f(x)2sinxsin2x，则 f(x)的最小值是_ 答案 3 32 解析 方法一：因为 f(x)2sinxsin
17、2x，所以 f(x)2cosx2cos2x4cos2x2cosx24(cosx12)(cosx1)，由 f(x)0 得12cosx1，即 2K 3 x2K 3，KZ，第46页 由 f(x)0 得1cosx12，即 2K x2K 3 或2K x2K 3，KZ，所以当 x2K 3(KZ)时，f(x)取得最小值，且 f(x)minf(2K 3)2sin(2K 3)3 32.第47页方法二：因为 f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)4sinx2cosx22cos2x28sinx2cos3x2 833sin2x2cos6x2，所以f(x)2643 3sin2x2cos6x2 643(3s
18、in2x2cos2x2cos2x2cos2x24)4274，当且仅当 3sin2x2cos2x2，即 sin2x214时取等号，第48页所以 0f(x)2274，所以3 32 f(x)3 32，所以 f(x)的最小值为3 32.方法三：因为 f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，所以f(x)24sin2x(1cosx)24(1cosx)(1cosx)3，设 cosxt，则 y4(1t)(1t)3(1t1)，所以 y4(1t)33(1t)(1t)24(1t)2(24t)，所以当1t0；当12t1 时，y0.第49页所以函数 y4(1t)(1t)3(1t1)在(1，12)上单调递增
19、，在(12，1)上单调递减，所以当 t12时，ymax274；当 t1 时，ymin0.所以 0y274，即 0f(x)2274，所以3 32 f(x)3 32，所以 f(x)的最小值为3 32.第50页方法四：因为 f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，所 以 f(x)2 4sin2x(1 cosx)2 4(1 cosx)(1 cosx)3 433（1cosx）（1cosx）（1cosx）（1cosx）44 274，当且仅当 3(1cosx)1cosx，即 cosx12时取等号，所以 0f(x)2274，所以3 32 f(x)3 32，所以 f(x)的最小值为3 32.第51
20、页 押题一 三角函数的求值押题方向：1恒等变换求值；2.变角求值；3.齐次式求值；4.求角 第52页(1)(2018长沙调研)对于锐角 ，若 sin(6)13，则 cos(3)()A.2 616 B.3 28 C.3 28 D.2 316 第53页【解析】由于 为锐角，且 sin(6)13，则 cos(6)2 23，cos(3)cos(6)6 cos(6)cos6 sin(6)sin6 2 616.【答案】A 第54页(2)(2019安徽黄山八校联考)已知 sin(6 )cos(6 )，则 cos2()A1 B1 C.12 D0 第55页【解析】方法一：由 sin(6 )cos(6 )，得 s
21、in6cos cos6 sin cos6 cos sin6 sin，整理，得 sin cos，所以|cos|sin|22，所以 cos2 2cos212(22)210.故选 D.第56页方法二：因为 sin(6 )cos(6 )，所以 sin6 coscos6 sin cos6 cos sin6 sin，所以12cos 32 sin 32 cos 12sin，即(12 32)sin(12 32)cos，所以 tansincos 1，所以 cos2 cos2sin2cos2sin2sin2cos21tan2tan210.故选 D.【答案】D 第57页(3)(2019唐山五校联考)若1cossin
22、12，则 cos 2sin()A1 B1 C25 D1 或25 第58页【解析】由1cossin12，得2cos222sin2 cos212，即cos2sin212，tan2 2.cos 2sin 1tan221tan2222tan21tan2214148141.故选 B.【答案】B 第59页(4)已知 ，(34，)，sin()35，sin(4)2425，则 cos(4)_ 第60页【审题】4()(4)，cos(4)cos()(4)，展开！【解析】，(34，)，32 2，又 sin()35，cos()45.又2 4 0，|2)的部分图象如图所示，若函数f(x)的图象经过恰当的平移后得到奇函数g
23、(x)的图象，则这个平移可以是()A向左平移12个单位长度 B向左平移6 个单位长度 C向右平移12个单位长度 D向右平移6 个单位长度 第71页【审题】本题主要考查三角函数的图象与性质设函数f(x)的最小正周期为T，根据图象得到12T2，求出T，再利用T2，求出 2，结合f(6)1，|2，写出f(x)的解析式，最后利用f(x)图象的平移规律可以求解【解析】设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可知 12 T23 6 2，则T 2，所以 2.当x6 时，f(x)1,第72页则sin(2 6 )1，因为|0)，由图知A1，T434 3 512，于是2 53，即 65，x3 是函数的图象递减时经过
24、的零点，于是653 2K ，KZ，所以 可以是35.故选C.【答案】C 第75页 【回顾】(1)选图：通过定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点等来确定(2)定式实质上就是确定参数，也可以带点排除 第76页(5)(2018西安模拟)函数f(x)sin2xxcosx在，上的图象大致是()第77页 【解析】奇函数，排除C、D，又f(2)0.故选B.【答案】B 第78页【回顾】1图象变换的方法：方法1：将ysinx的图象向左(0)或向右(0)，纵坐标不变，得ysin(x)的图象；将ysin(x)图象上每点的纵坐标变为原来的A倍(A0)，横坐标不变，即得yAsin(x)(A0，0)的图象 第79
25、页方法2：将ysinx图象上每点的横坐标变为原来的1倍(0)，纵坐标不变，得ysin x的图象；将ysin x图象向左(0)或向右(0)，横坐标不变，即得yAsin(x)的图象 第80页2根据图象yAsin(x)，xR求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与：A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半 由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；第81页一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 14个周期(借助图象很好理解记忆)(2
26、)求 的值时最好选用最值点求：峰点:x 2+2K；谷点：x 2 2K.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点 升零点(图象上升时与x轴的交点)：x 2K；降零点(图象下降时与x轴的交点)：x 2K(以上KZ)第82页押题三 三角函数的性质押题方向：1值域、最值；2.单调性；3奇偶性、对称性；4.周期性；5零点问题 第83页(1)设函数f(x)cos(x 3)，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x83 对称 Cf(x)的一个零点为x6 Df(x)在(2，)上单调递减 第84页【解析】由三角函数的周期公式可得T 21 2，所以周期是2 也正确，所以
27、A正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x 83代入函数f(x)cos(83 3)cos3 1，所以B正确；f(x)cos(x 3)cos(x3)0，解得其中一个解是x6，所以C正确；函数f(x)在区间(2，)上有增有减，D不正确故选D.【答案】D 第85页(2)(2019河北五校联考)若函数f(x)5cosx12sinx在x时取得最小值，则cos()A.513 B 513 C.1213 D1213 第86页【解析】由f(x)5cosx12sinx13(513 cosx 1213 sinx)13sin(x)，其中sin 513，cos1213，由x 2K 2(KZ)，得x2K 2
28、(KZ)，所以 2K 2 (KZ)，那么cos cos(2K 2 )sin 513.【答案】B 第87页 【讲评】(1)求函数yAsin(x)B的值域、最值问题，一定要注意相位“x”的范围，同时注意结合不等式性质，连续求解(2)其他类型的求值域、最值问题，要注意应用换元法进行转化，注意数形结合 第88页(3)(2019广州五校联考)函数f(x)4cosxsin(x6)1(xR)的最大值为_【解析】f(x)4cosxsin(x6)14cosx(32 sinx12cosx)12 3sinxcosx2cos2x1 3sin2xcos2x2sin(2x6)，f(x)max2.【答案】2 第89页(4)
29、(2019湖南衡阳八中月考)设x(0，2)，则函数ysin2x2sin2x1的最大值为_ 第90页【解析】因为x(0，2)，所以tanx0，函数ysin2x2sin2x12sinxcosx3sin2xcos2x2tanx3tan2x123tanx 1tanx 22 3 33，当且仅当3tanx 1tanx时等号成立故最大值为 33.【答案】33 第91页(5)(2019湖北七市)已知函数f(x)sinx 3cosx(xR)，先将yf(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上的所有点向右平行移动(0)个单位长度，得到的图象关于直线x34 对称，则 的最小值为
30、()A.6 B.3 C.512 D.23 第92页【解析】f(x)sinx3 cosx2sin(x 3)，按照条件给出的变换过程，得到g(x)2sin2(x)3 2sin(2x2 3)的图象又g(x)的图象关于直线x34 对称，234 23 2 K，KZ，即 23 k2，KZ，当K1时，min23 2 6.故选A.【答案】A 第93页(6)(2019福州五校)若将函数y3sin(6x6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移 6 个单位长度，得到函数yf(x)的图象，若yf(x)a在x 6，2 上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A3，32 B32，32 C32
31、，3 D(3，32 第94页【解析】把函数y3sin(6x6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y3sin(2x 6)的图象，再向右平移6 个单位长度，得到函数f(x)3sin(2x6)的图象，当x6，2 时，2x6 2，56，结合图形知a32，3)，可得a(3，32故选D.【答案】D 第95页【回顾】1求三角函数单调区间的方法：(1)求函数yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)的单调区间时，要先把相应“x”中的 化成正数，再将化简后的“x”看作一个整体，结合三角函数的单调性，解不等式即可求得(2)利用三角函数图象的直观性：增升，减降！第96页2关于周期
32、性、奇偶性、对称性(1)求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解(2)正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用 第97页(3)yAsin x(A0，0)是奇函数；yAcos x(A0，0)是偶函数；若yAsin(x)是奇函数，则 K，KZ；若是偶函数，则 K 2，KZ；若yAcos(x)是奇函数，则 K 2，KZ；若是偶函数，则 K，KZ.(4)yAsin(x)或yAcos(x)在对称轴处取最值；在对称中心处函数值为0.请做：小题专练作业（十一）