1、导数在研究函数中的应用(强化练)一、选择题1已知函数yf(x)，xR有唯一的极值，且x1是f(x)的极小值点，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0解析：选C由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f(x)，xR有唯一的极值，故当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.2函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A1，0B2，8C1，2 D0，2解析：选A因为f(x)
2、(1x)ex0，又因为ex0，所以x1.3函数y2x33x212x5在0，3上的最大值和最小值分别是()A5，15 B5，4C5，15 D5，16解析：选Cy6x26x126(x1)(x2)，令y0得x1或x2.当x2时y15，当x0时y5，当x3时，y4.故选C4若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()解析：选C观察题图可知：当x0，则f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，则f(x)单调递减，即f(x)的图象在x0左侧上升，右侧下降故选C5已知函数f(x)ln 2，则()Af()f()Bf()f()Df()，f()的大小关系无法确定解析：选Cf(x)
3、，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减因为f()故选C6若函数f(x)x3ax2x6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca1 D0a1解析：选A因为f(x)3x22ax1，又f(x)在(0，1)内单调递减，所以不等式3x22ax10在(0，1)内恒成立，所以f(0)0，且f(1)0，所以a1.7若函数yx33axa在(1，2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B1a4C2a4 Da4或a1解析：选By3x23a.当a0时，f(x)0，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；要使函数yx33axa在(1，2)内有极小值，则即所以1a0，解得x；
4、令f(x)，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，故f(x)的最大值是f()，所以a.9若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：选D因为2x(xa)x.令f(x)x，所以f(x)12xln 20，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)011，所以a的取值范围为(1，)10定义在R上的函数f(x)满足f(x)1f(x)，f(0)6，其中f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(1，) D(3，)解析：选A不等式e
5、xf(x)ex5可化为exf(x)ex50.设g(x)exf(x)ex5，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10，所以函数g(x)在定义域R上单调递增又g(0)0，所以g(x)0的解集为(0，)二、填空题11函数f(x)x2ln x的单调递减区间是_解析：f(x)1(x0)，令f(x)10，得0x2，因此，函数f(x)x2ln x的单调递减区间是(0，2)答案：(0，2)12若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，在(1，1)上是减函数，则实数k_解析：h(x)2，根据题意，知h(1)0，即2k0，解得k2，经验证，符合题意答案：213函数f(x)x33x29xk在区间
6、4，4上的最大值为10，则其最小值为_解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)，令f(x)0，得x3或x1.因为f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20，所以f(x)maxk510，得k5，所以f(x)mink7671.答案：7114函数f(x)x3x在(a，10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)x21.易知f(x)在(，1)和(1，)上单调递减，在1，1上单调递增故函数f(x)在(a，10a2)上存在最大值的条件为即2a1.答案：2，1)三、解答题15已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，求f(m)f(n)的最小值解：f
7、(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知，f(2)0，即342a20，所以a3，由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.易知f(x)在区间1，0)上单调递减，在区间(0，1上单调递增，所以当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，所以当n1，1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.16已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值解：(1)f(x)3x22ax3，因为f(x)在1，)上是增
8、函数，所以当x1，)时，f(x)0恒成立，所以a(x)min3(当且仅当x1时取等号)，所以实数a的取值范围是(，3(2)由题意，知f(3)0，即276a30，解得a5，所以f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0；当3x0，即当x3时，f(x)取得极小值，为f(3)9.又f(1)1，f(5)15，所以f(x)在1，5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.17已知函数f(x)x2(a2)xaln x，其中aR.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线的斜率为1，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)由
9、f(x)x2(a2)xaln x，可知函数f(x)的定义域为x|x0，且f(x)2x(a2).由题意，知f(2)4(a2)1，解得a2.(2)f(x)2x(a2)(x0)令f(x)0，得x11，x2.当a0时，0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)当01，即0a0，得0x1，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)，(1，)；令f(x)0，得x1，即a2时，令f(x)0，得0x，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，(，)；令f(x)0，得1x，所以函数f(x)的单调递减区间为(1，)综上，当a0时，函数f(x
10、)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当0a2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，(，)，单调递减区间为(1，)18已知函数f(x)(a0)(1)当a1，b0时，求函数f(x)的极值；(2)当b1时，若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1，b0时，f(x)，所以f(x)，所以当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的极小值为f(2)，无极大值(2)当b1时，f(x).根据题意，知0无实根，即axaex0无实根令h(x)axaex，则h(x)aex.若a0，则h(x)0，h(x)在R上单调递增，存在x0，使得h(x0)0，不合题意；若a0，得xln(a)；令h(x)0，得x0，即aln(a)2a0，解得e2a0，符合题意综上所述，a的取值范围为(e2，0)