1、高考资源网（） 您身边的高考专家2013高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用2.11导数及其应用【高考新动向】一、变化率与导数、导数的计算1、考纲点击（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,的导数;（4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。2、热点提示（1）导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不单独命题,而在考查导数应用的同时进行考查；（2）导数的几何意义是高考重点考查的内容,常与解析几何知识
2、交汇命题,多以选择题和填空题的形式出现,有时也出现在解答题中关键的一步。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、考纲点击（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。（3）会利用导数解决某些实际问题。2、热点提示（1）对多项式函数的导数一般要求原函数中x的最高次数不超过二次。（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题
3、，已成为近几年高考炙手可热的考点。（3）选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属于中高档题目。【考纲全景透析】一、变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为。2、函数y=f(x)在x=x0处导数（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为y=f(x)在x=x0处导数，记作（2）几何意义函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=(x=x0
4、).3、函数f(x)的导函数称函数为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；;方法二：先求导函数，再令x=x0求4、基本初等函数的导数公式5、导数运算法则6、复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。方法提示：1与的区别：在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0。2函数求导的原则：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意
5、求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误。3复合函数的求导技巧（1）复合函数的求导问题是个难点，要分清中间变量与复合关系；（2）必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系；（3）复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环。要防止漏掉一部分或漏掉符号造成错误。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、函数的单调性与导数在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。即如图所示：注：函数在（a,
6、b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0) 是极大（小）值的方法是：（1）如果在 x0附近的左侧 f(x)0 ，右侧f(x) 0 ，那么 f(x0) 是极大值（1）如果在x0附近的左侧 f(x) 0 ，那么 f(x0) 是极小值注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数函数f(x)在a,b上有最值的条件如果在区间a,b上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它
7、必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：方法提示：1导数的应用（1）导数的应用主要包括以下几个方面：利用导数研究函数的单调性和单调区间；利用导数研究函数极值与最值；利用导数研究曲线的切线问题；利用导数研究不等式的证明问题；利用导数研究函数的零点；利用导数求参数的取值范围等。（2）在复习的过程中，应注意总结规律，一般来说，利用导数解决的问题，其所涉及的函数往往具有明显的特征，例如：高次函数，非常规函数（由基本初等函数构成）等，这些函数尤其适合利用导数解决。2应用导数求解实际问题的最值在解决实际问题的最值时，一般情况下，其函数是定义域内的单峰函数，即函数在定义域内只有一个
8、极值点，此时极大值好为最大值，极小值即为最小值。【热点难点全析】一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：求函数的增量；求平均变化率；得导数，简记作：一差、二比、三极限。（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析例1求函数y=的在x=1处的导数。解析：例2一质点运动的方程为。求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析（1）平均速度为；（2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。解答：（1
9、）s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-61=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。（二）导数的运算1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：分析函数的结构和特征；选择恰当的求导法则和导数公式求导；整理得结果。（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函
10、数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。2、例题解析例求下列函数的导数。思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易
11、求得.解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xl
12、n2(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：(5)设=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=5与=3-2x复合而成，所以y=fx=(5)(3-2x)=54(-2)=-104=-10(3-2x)4.规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.（三）导数的几何意义【例】已知曲线，求曲线在点P(2
13、,4)处的切线方程；求曲线过点P(2,4)的切线方程； 求斜率为4的曲线的切线方程。思路分析：“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.解答：（1）上，且在点P(2,4)处的切线的斜率k=4;曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，切线方程为（）=（-），即点P(2,4)在切线上，4=2，即，（x0+1）(x0-2)2=0解得x0=-1或x0
14、=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x0,y0）则切线的斜率为k=x02=4, x0=2.切点为（2，4），（-2，-4/3）切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：(1)求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0)处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f(x0)，故当f(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；割线切线.（3）可以利用导数求曲线的切线
15、方程，由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0)处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y=y0+f(x0)(x-x0)；如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例（一）利用导数研究函数的单调性1、相关链接（1）求可导函数单调区间的一般步骤
16、和方法，如下图：即：确定函数f(x)的定义域;求f(x) ，令f(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0（或f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数。（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0（或f(x)0），x（a,b）恒成立
17、，且f(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析例】(2011北京模拟)若函数f(x)=lnx-ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.思路解析：函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f(x)0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+),所以本题就是要求f(x)0在(0,+)上有实数解.解答：f(x)= -ax-2=.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f(x)0有解.又因为函数的定义域为(0,+),
18、则ax2+2x-10在x(0,+)内有解.(1)当a0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-10,总可以找到x0的解;(2)当a0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-10总有大于0的解,则=4+4a0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1a0.(3)当a=0时,显然符合题意.综上所述,实数a的取值范围是-1,+).（二）利用导数研究函数的极值与最值1、相关链接（1）求函数f(x)极值的步骤即：确定函数f(x)的定义域；求导数f(x);求方程f(x)=0的根。检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么
19、f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值。（2）可导函数极值存在的条件可导函数的极值点x0一定满足f(x0)=0,但当f(x0)=0时，x0不一定是极值点。如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点。可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x)=0，且在x0左侧与右侧f(x0)的符号不同。（3）设函数f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a
20、),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。根据最值的定义，求在闭区间a,b上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。2、例题解析例1已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,记f(x)的导数为f(x).(1)若曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为3，且x=时，y=f(x)有极值,求函数f(x)的解析式.(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在-4,1上的最大值
21、和最小值.思路解析：在求解(1)时，可以通过切线斜率和极值点求得a,b的值，从而求得函数的解析式.在求解(2)时只需要列出极值变化表，对比区间端点值求得最值即可.解答：（1）由题意，得解得，所以（2）由（1）知，令，得当变化时，的变化情况如表：在上的最大值为13，最小值为-11.例2已知函数 （1）当时，求证函数上是增函数； （2）当a=3时，求函数在区间0，b上的最大值。解答：(1)时，故在R上是增函数。(4分)(2)时，若时，得：()若时，在0，b上单增，故()若时，因故.若时，由知在上的最大值为2，下求在上的最大值，因，故又综合、 知： (12分)（四）利用导数解决实际生活中的优化问题1
22、、相关链接利用导数解决生活中的优化问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间.(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去.(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.2、例题解析例某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知ABBC,OABC,且AB=BC=2AO=4 km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大
23、?并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2).思路解析：矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC上的具体位置有关，因此应设法将落在OC上的点用一个变量表示出来，然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首先建立直角坐标系.解答：以O点为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图所示)，依题意可设抛物线为y2=2px(p0)且C(4,2).22=2p4,p=,故所设抛物线方程为y2=x(0x4).设P(x, )(0x4)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，|PQ|=2+，|PN|=4-x,所以工业区的面积为S=|PQ|PN|=(2+)(4-x) =-2x
24、+4+8，S=-2+2，令S=0，得3x+4-4=0,( +2)(3-2)=0,x=.故当x0, )时，S0,S是关于x的增函数；当x,4时，S0,S是关于x的减函数，x=时，S取得最大值，此时|PQ|=2+=,|PN|=4-x=,S=9.5,Smax9.5(km2).把工业园规划成长为km,宽为km的矩形，工业园的面积最大，最大面积约为9.5 km2.注：生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧。在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实
25、际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。【高考零距离】1、（2012辽宁高考文科12）已知P,Q为抛物线上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8【解题指南】由已知求出切点P,Q的坐标，进而求出斜率，利用点斜式写出两条切线方程，求出交点A的纵坐标【解析】选C.由于P,Q为抛物线（即）上的点，且横坐标分别为4，-2，则，从而在点P处的切线斜率，据点斜式，得曲线在点P处的切线方程为；同理，曲线在点Q处的切线方程为；上
26、述两方程联立，解得交点A的纵坐标2、（2012新课标全国高考文科13）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为_【解题指南】 通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式。【解析】，故，所以曲线在点处的切线方程为，化为一般式方程为.答案：3、（2012山东高考文科22）已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值；()求的单调区间；()设，其中为的导函数.证明：对任意.【解题指南】 （1）由曲线在点处的切线与轴平行可知即可求出k的值.（2）可由1的结论求解判断单调区间.（3）构造函数法求解的最值.【解析】)(
27、I)，由已知，.(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.(III)由(II)可知，当时，01+，故只需证明在时成立.当时，1，且，.设，则，当时，当时，所以当时，取得最大值.所以.综上，对任意，.4、（2012广东高考文科21）设，集合.（1）求集合(用区间表示)（2）求函数在内的极值点.【解题指南】 (1)解本题的关键是确定集合B，构造,因为,因为,所以3a-90,知在R上恒成立，因此由此并结合a0,知.7、（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （A）64 （B
28、）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得.故选A. 【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.曲线y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( )(A)y=2x+1 (B)y=2x-1(C)y=-2x-3 (D)y=-2x-22.(2012宿州模拟)若f(x)=2xf(1)+x2，则f(0)等于( )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-43.y=sinx+tcosx在x=0处的切线方程为y=x+1，则t等于( )(A)1 (B)2
29、 (C)-1 (D)04.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间-1,2上是减函数，那么b+c( )(A)有最大值 (B)有最大值-(C)有最小值 (D)有最小值-5.函数f(x)= ex(sinx+cosx)在区间0，上的值域为( )(A)， (B)(，)(C)1， (D)(1，)6.(易错题)已知函数y=f(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为( )(A)(-，)(,2)(B)(-，0)(，2)(C)(-，) (，+)(D)(-，)(2，+)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012哈尔滨模拟)等比数列an中，a1=1,a2 012=4,函数f(x)=x(
30、x-a1)(x-a2)(x-a2 012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为_.8.已知函数f(x)=alnx+x在区间2,3上单调递增，则实数a的取值范围是_.9.（2012龙岩模拟)已知、是三次函数f(x)= (a,bR)的两个极值点，且(0,1),(1,2),则的取值范围是_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知函数f(x)满足如下条件：当x(-1,1时，f(x)=ln(x+1)，且对任意xR，都有f(x+2)=2f(x)+1.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求当x(2k-1,2k+1，kN*时，函数f(x)的解析式.11.某商场销售某
31、种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【探究创新】(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数
32、P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润=产值-成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？答案解析1.【解析】选A.因为y=，所以，在点(-1,-1)处的切线斜率k=y|x=-1=2，所以，切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1，故选A.2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f(1)为常数，先求出f(1)，再求f(0).【解析】选D.f(x)=2f(1)+2x，令x=1，得f(1)=-2，f(0)=2f(1)=-4.3.【解析】选A.y=cosx-tsinx，当x=0时，y
33、=t，y=1，切线方程为y=x+t，比较可得t=1.4.【解析】选B.由f(x)在-1,2上是减函数，知f(x)=3x2+2bx+c0，x-1,2，则15+2b+2c0b+c-.5.【解析】选A.f(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx，当0x0,f(x)是0，上的增函数.f(x)的最大值为f()=，f(x)的最小值为f(0)= .f(x)的值域为,.6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f(x)在(-，)和(2，+)上大于0，在(，2)上小于0，xf(x)0,P(x)=0时,x=12，当0x0,当x12时，P(x)0,x=12时，P(x)有极大值，也是最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为1，19，且xN*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少. 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 ) 版权所有高考资源网
