1、基础过关第2课时 算术平均数与几何平均数1a0，b0时，称 为a，b的算术平均数；称 为a，b的几何平均数2定理1 如果a、bR，那么a2b2 2ab（当且仅当 时 取“”号）3定理2 如果a、b，那么 （当且仅当ab时取“”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数4已知x、y，xyP，xyS. 有下列命题：(1) 如果S是定值，那么当且仅当xy时，xy有最小值 (2) 如果P是定值，那么当且仅当xy时，xy有最大值 典型例题例1设a、bR，试比较， ，的大小 解：a、bR+，2即，当且仅当ab时等号成立又 当且仅当ab时等号成立 而于是(当且仅当ab时取“”号)说明：题中的、分别叫做正
2、数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明变式训练1：（1）设，已知命题；命题，则是成立的 （ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：B.解析： 是等号成立的条件.（2）若为ABC的三条边，且，则（ ）A B C D解：D解析：，又。（3）设x 0, y 0, ， a 与b的大小关系（ ） Aa b Ba 0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .解： 解析:由盐的浓度变大得例2. 已知a，b，x，yR+（a，b为常数），求xy的最小值.解： ab2变式训练2：已知a，b，x，yR+（a，b为
3、常数），ab10， ，若 xy的最小值为18，求a，b的值解：或例3. 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2解：证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a
4、5 + b5 a2b3 + a3b2变式训练3：比较下列两个数的大小：（1） （2）；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）,（2）（3）一般结论：若成立证明 欲证成立只需证也就是 （） 从而（*）成立，故 例4. 甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解: (1) 依
5、题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为yabv2s(bv)，故所求函数及其定义域为ys(bv)v(0,c)(2) s、a、b、vR+，故s(bv)2s 当且仅当bv时取等号，此时v若c即v时，全程运输成本最小若c，则当v(0，c)时，ys(bv)s(bc)(cv)(abcv)cv0，且abc，故有abcvabc20 s(bv)s(bc)，且仅当vc时取等号，即vc时全程运输成本最小变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：第一种传统方法是建造一台超级计算机此种方法在过去曾被普遍采用但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能
6、力和成本的平方根成正比另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5万元需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？解：设投入的资金为万元，两种方法所能达到的计算能力为MIPS，则把，代入上式得，又，当时，代入上式得，由得，即0，解得900(万元)答：在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。归纳小结小结归纳1在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件2在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”变量为正数，“二定”和或积为定值，“三相等”等号应能取到，简记为“一正二定三相等”