1、2015-2016学年江西省抚州市崇仁二中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z=1+i（i是虚数单位），则z2的共轭复数是（）A1+3iB1+3iC13iD13i2随机变量服从二项分布B（9，p），且E=3，则p等于（）A1BCD03对两个变量的相关系数r，下列说法中正确的是（）A|r|趋近于0时，没有非线性相关关系B|r|越接近于1时，线性相关程度越强C|r|越大，相关程度越大D|r|越小，相关程度越大4某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，设A
2、为下雨，B为刮风，则P（A|B）=（）ABCD5现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（）A60种B54种C30种D42种6如图，曲线y=sinx在圆x2+y2=2内的部分与x轴围成的阴影部分区域记为，随机向圆内投掷一个点A，则点A落在区域的概率为（）ABCD7一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）ABCD8设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的
3、二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A5B6C7D89如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），则函数V（t）的导函数y=V（t）的图象大致是（）ABCD10若函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B2，2C（，1）D（1，+）11在R上可导的函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x（0，1）时取得极大值当x（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）ABCD12设函数f（
4、x）在区间（a，b）的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数记为f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”已知函数f（x）=x4mx34x2+2，且当实数m满足|m|3时，函数f（x）在区间（ab，a+b）为“凸函数”，则a2+（b3）2的最小值为（）A2B4C6D8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13已知随机变量服从正态分布N（3，2），P（2）=0.3，则P（4）=14将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的
5、种数为（用数字作答）15设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为10，则 a=16一个袋中装有黑球、白球和红球共n（nN*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，现从袋中任意摸出2个球若n=15，且摸出的2个球都是白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量的数学期望E=三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）175个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲不在排头，也不在排尾，（2）甲、乙、丙三人必须在一起，（3）甲、乙、丙三人两两不相邻，（4）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的
6、顺序18若展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项192013届江西免费师范毕业生选岗测试统计显示宜春市有3名学生，假设有A，B，C，D共4所学校供这3名学生选择，每位学生必须且只能选1所学校（1）求这3名学生选择学校的选法总数；（2）求恰有2所学校没有被这3名学生选择的概率；（3）求选择A学校人数的数学期望20某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数
7、获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）21通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称为可入肺颗粒物）称为PM2.5我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：空气质量一级二级超标日均值（微克/立方米）35以下357575以上某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的PM2.5
8、日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天的数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望22设函数f（x）=lnxax2bx（）当a=b=时，求f（x）的最大值；（）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（0x3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值2015-2016学年江西省抚州市崇仁二中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在
9、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z=1+i（i是虚数单位），则z2的共轭复数是（）A1+3iB1+3iC13iD13i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：则z2=2i=13i其共轭复数是1+3i故选：B2随机变量服从二项分布B（9，p），且E=3，则p等于（）A1BCD0【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】随机变量服从二项分布，故可直接利用期望公式进行计算，求出p【解答】解：随机变量服从二项分布B（9，p），且E=3，E=9p=3，p=故选：C3对两个变量的相关系数r，下列说法中正确的是（）A|r|
10、趋近于0时，没有非线性相关关系B|r|越接近于1时，线性相关程度越强C|r|越大，相关程度越大D|r|越小，相关程度越大【考点】两个变量的线性相关【分析】用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，相关系数的取值范围是1，1，得到结果【解答】解：用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故选：B4某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则P（A|B）=（）ABCD【考点
11、】条件概率与独立事件【分析】利用条件概率公式，即可求得结论【解答】解：由题意P（A）=，P（B）=，P（AB）=P（A|B）=故选：D5现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（）A60种B54种C30种D42种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，设能胜任两种工作的那个人为A，进而分3类讨论：不选派A；A被选为英语翻译工作；A被选为电脑软件设计工作；分别求出其情况数目，由分类计数原理，计算可得答案【解答】解：设能胜任两种工作的
12、那个人为A，记为A不选派A的方法数C43C32=12；A被选为英语翻译工作的方法数C42C32=18；A被选为电脑软件设计工作的方法数 C43C31=12，故不同的选法种数为42，故选D6如图，曲线y=sinx在圆x2+y2=2内的部分与x轴围成的阴影部分区域记为，随机向圆内投掷一个点A，则点A落在区域的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：
13、面积为S=20sinxdx=2cosx|0=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：A7一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）ABCD【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】根据题意，设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1x，又由题意，可得4次射击全部没有命中目标的概率为，即（1x）4=，解可得答案【解答】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1x，根据题意，该射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，即4次射击全部没有命中目标的概率为1=，有（1x）4=，解
14、可得，x=，故选B8设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A5B6C7D8【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值【解答】解：m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得 b=再由13a=7b，可得13=7，即 13=7，即 13=7，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B9如图所
15、示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），则函数V（t）的导函数y=V（t）的图象大致是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象【分析】求出函数的解析式，再求导，观察判断即可【解答】解：方法一，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为a=，高为2，设时间为t时，当t1时，此时水面的边长为b，则b=t，则水面的面积为b2=2t2，该容器内水的体积V（t）=2t2t=t3，当t1时，此时水面的边长为c，则c=（2
16、t），则水面的面积为c2=2（2t）2，该容器内水的体积V（t）=（）222（2t）2（2t）=（2t）3，y=V（t）=2t2，（t1），y=V（t）=2（2t）2，（1t2），方法二，由题意得：V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），y=tv（t）是关于t的3次函数，则y=v（t）是关于t的2次函数，故选：D10若函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B2，2C（，1）D（1，+）【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】由函数f（x）=x33x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的
17、变化趋势，要使函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围【解答】解f（x）=3x23=3（x+1）（x1），当x1时，f（x）0；当1x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0，当x=1时f（x）有极大值当x=1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点只需，解得2a2故选A11在R上可导的函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x（0，1）时取得极大值当x（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）ABCD【考点】极限及其运算【分析】由题意知f（x）=x2+ax+2b，结合题设条件由此可以导出的取值范围【解答】解：f（x）=，f（x）=x
18、2+ax+2b，设x2+ax+2b=（xx1）（xx2），（x1x2）则x1+x2=a，x1x2=2b，因为函数f（x）当x（0，1）时取得极大值，x（1，2）时取得极小值0x11，1x22，1a3，02b2，3a1，0b12b21，4a12，故选A12设函数f（x）在区间（a，b）的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数记为f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”已知函数f（x）=x4mx34x2+2，且当实数m满足|m|3时，函数f（x）在区间（ab，a+b）为“凸函数”，则a2+（b3）2的最小值为（）A2B4C6D8【
19、考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据“凸函数”的定义，求出对应的求解，利用线性规划的应用即可得到结论【解答】解：f（x）=x4mx34x2+2，f（x）=4x3mx28x，f（x）=2x22mx8，当|m|3时，f（x）=2x22mx80恒成立，即x2mx40恒成立，当3m3时，g（m）=xm+x240恒成立，即，即，解得1x1则（ab，a+b）（1，1），即，作出不等式组对应的平面区域如图：a2+（b3）2的几何意义是动点P（a，b）到定点D（0，3）的距离的平方，由图象可知，当P位于A（0，1）时，a2+（b3）2的最小值为02+（13）2=4，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每
20、题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13已知随机变量服从正态分布N（3，2），P（2）=0.3，则P（4）=0.3【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】随机变量X服从正态分布N（3，2），得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结论【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，2），曲线关于x=3对称，P（4）=P（2）=0.3，故答案为：0.314将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为30（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】分成两种情况，甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一
21、人被分到同一个班；丙和丁两人被分到同一个班，再利用加法原理，即可得出结论【解答】解：分成两种情况，甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2C21A33=24种分法；丙和丁两人被分到同一个班共有A33=6种分法于是所求的分法总数为24+6=30故答案为：3015设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为10，则 a=2【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx102r（）r=C5rx103rar令103r=7得r=1，x
22、7的系数是aC51x7的系数是10，aC51=10，解得a=2故答案为：216一个袋中装有黑球、白球和红球共n（nN*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，现从袋中任意摸出2个球若n=15，且摸出的2个球都是白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量的数学期望E=【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】根据古典概型的概率公式求出三种球的个数，再计算=0，1，2时的概率，得出数学期望【解答】解：设黑球，白球，红球个数分别是x，y，z，则，解的x=6，y=5，z=4的可能取值为0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，E=0+1+2=故
23、答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）175个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲不在排头，也不在排尾，（2）甲、乙、丙三人必须在一起，（3）甲、乙、丙三人两两不相邻，（4）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（1）甲不在排头，也不在排尾，先选2人排在排头和排尾，其他人任意排，问题得以解决；（2）甲、乙、丙三人必须在一起，先把甲乙丙三人捆绑在一起，再和另外2人全排，问题得以解决；，（3）甲、乙、丙三人两两不相邻，先排除甲乙丙之外的2人，形成了3个空，把甲乙丙插入，问题得以解决；，（4）
24、没有限制条件的排列为A55=120种，其中甲乙丙的顺序有A33=6种，问题得以解决；【解答】解：（1）甲不在排头，也不在排尾，先选2人排在排头和排尾，其他人任意排，故有A42A33=72种，（2）甲、乙、丙三人必须在一起，先把甲乙丙三人捆绑在一起，再和另外2人全排，故有A33A33=36种，（3）甲、乙、丙三人两两不相邻，先排除甲乙丙之外的2人，形成了3个空，把甲乙丙插入，故有A22A33=12种，（4）没有限制条件的排列为A55=120种，其中甲乙丙的顺序有A33=6种，故甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序有=20种18若展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中含x的一次幂的项
25、；（2）展开式中所有x的有理项【考点】二项式系数的性质【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出通项，求出前三项系数，列出方程求出n；令通项中的x=1求出展开式中含x的一次幂的项（2）令通项中的x为有理数得到展开式中所有x的有理项【解答】解：（1）展开式的通项前三项的系数分别为成等差数列， n29n+8=0 n=8或n=1（舍去）含x的一次项为：，（2）所有的有理项为：192013届江西免费师范毕业生选岗测试统计显示宜春市有3名学生，假设有A，B，C，D共4所学校供这3名学生选择，每位学生必须且只能选1所学校（1）求这3名学生选择学校的选法总数；（2）求恰有2所学校没有被这3名学生选择的概率；
26、（3）求选择A学校人数的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由排列组合知识能求出这3名学生选择学校的选法总数（2）利用古典概型概率计算公式组合排列组合知识能求出恰有2所学校没有被这3名学生选择的概率（3）由题意知=0，1，2，3，由此能求出选择A学校人数的数学期望【解答】解：（1）由题意知这3名学生选择学校的选法总数：n=43=64（2）恰有2所学校没有被这3名学生选择的概率：p=（3）由题意知选择A学校人数=0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=的分布列是 01 2 3 PE=20某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者
27、先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式
28、可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）P（A1）=（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）=P（X=10）=P（A2）P（B1）=P（X=0）=1=X的分布列为x01050200PEX=4元21通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称为可入肺颗粒物）称为PM2.5我国PM2.5标准采用世卫组织设定的
29、最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：空气质量一级二级超标日均值（微克/立方米）35以下357575以上某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天的数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图【分析】（1）利用茎叶图结合对立事件的概率公式能求出随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级的概率（2）的可能值为0，
30、1，2，3，分别求出P（=0），P（=1），P（=2），P（=3），由此能求出的分布列和E（）【解答】解：（1）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）=1=（2）的可能值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=所以的分布列为0123PE（）=0+1+2+3=122设函数f（x）=lnxax2bx（）当a=b=时，求f（x）的最大值；（）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（0x3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜
31、率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）先求定义域，再研究单调性，从而求最值（）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，知导函数恒成立，再转化为所以求解（）先把程2mf（x）=x2有唯一实数解，转化为所以x22mlnx2mx=0有唯一实数解，再利用单调函数求解【解答】解：（）依题意，知f（x）的定义域为（0，+）当时，令f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，此时f（
32、x）单调递减所以f（x）的极大值为，此即为最大值（），所以，在x0（0，3上恒成立，所以，x0（0，3当x0=1时，取得最大值所以a（）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x22mlnx2mx=0有唯一实数解设g（x）=x22mlnx2mx，则令g（x）=0，得x2mxm=0因为m0，x0，所以（舍去），当x（0，x2）时，g（x）0，g（x）在（0，x2）单调递减，当x（x2，+）时，g（x）0，g（x）在（x2，+）单调递增当x=x2时，g（x2）=0g（x），g（x2）取最小值g（x2）因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0则，即所以2mlnx2+mx2m=0，因为m0，所以2lnx2+x21=0设函数h（x）=2lnx+x1，因为当x0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解因为h（I）=0，所以方程的解为（X2）=1，即，解得2016年11月3日