1、2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，已知复数Z=+（1+i）4，则复数Z对应点落在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）AnBCn21D3设f （x）为可导函数，且满足=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是（）A2B1CD24函数y=f（x）在定义域（，3）内的图
2、象如图所示记y=f（x）的导函数为y=f（x），则不等式f（x）0的解集为（）A，12，3）B1，C，1，2）D（，3）5曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是（）Aee1Be+e1Cee12De+e126已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2016的值为（）ABCD7用数学归纳法证明34n+1+52n+1（nN）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A5634k+1+25（34k+1+52k+1）B34k+1+52k+1C3434k+1+5252k+1D25（34k+1+52k+
3、1）8点P是曲线y=x21nx上任意一点，则点P到直线y=x2的距离的最小值是（）A1BC2D29已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）10设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）11函数f（x）=x33x29x+3，若函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，则m的取值范围为（）A（24，8）B（24，1C
4、1，8D1，8）12已知函数f（x）=x3+ax2bx+1（a、bR）在区间1，3上是减函数，则a+b的最小值是（）ABC2D3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13求由曲线y=（x+2）2与x轴及直线y=4x所围成的平面图形的面积14设函数f（x）=（xa）（xb）（xc）（a、b、c是两两不等的常数），则+=15将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为16如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零
5、实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF的方程：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足（1）求A的大小； （2）若a=2，且bc，求ABC的面积18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若二面角MBQC为30，设PM=tMC，试确定t的值19已知某班学生语文
6、与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18x语文人数y数学ABCA7205B9186Ca4b（）求抽取的学生人数；（）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；（）已知a10，b8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率20已知数列an的前n项和为Sn，且a1=（1）求an的通项公式；（2）设bn=n（2Sn），nN*，若bn，nN*恒成立，求实数的取值范围21已知函数f（
7、x）=x33x2+xlna+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处切线与x轴交点的横坐标为2（1）求a：（2）当k1时，曲线y=f（x）与直线y=kx2只有一个交点，求x的取值范围22已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=f（x）+sinx是区间1，1上的减函数（1）求a的值；（2）若g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，求t的取值范围2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，已知复
8、数Z=+（1+i）4，则复数Z对应点落在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念【分析】首先进行复数的除法运算和乘方运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数对应的点的坐标，根据坐标看出位置【解答】解：=4+i对应的点的坐标是（4，1）复数的对应点落在第二象限，故选B2在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）AnBCn21D【考点】归纳推理【分析】通过观察前几个图形中顶点的个数得，每一个图形中的顶点的个数都可以看成是一个等
9、差数列的前几项的和，再利用等差数列的求和公式即可解决问题【解答】解：从斜的方向看，根据规律性知：由1+2+3+n=n（n+1）可得故选：B3设f （x）为可导函数，且满足=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是（）A2B1CD2【考点】直线的斜率；极限及其运算【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率【解答】解：，f（1）=2即曲线y=f （x）在点（1，f（1）处的切线的斜率是2，故选D4函数y=f（x）在定义域（，3）内的图象如图所示记y=f（x）的导函数为y=f（x），则不等式f（x）
10、0的解集为（）A，12，3）B1，C，1，2）D（，3）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减确定函数f（x）的单调性【解答】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选A5曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是（）Aee1Be+e1Cee12De+e12【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意可知曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是exex积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可【解答】解：曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积，就是：01（exex）dx=（ex+ex）|01=e+
11、e12故选D6已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2016的值为（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合【分析】由已知得f（1）=2+b=3，从而b=1，进而=，然后由裂项相消法求和可得【解答】解：函数的导数f（x）=2x+b，点A（1，f（1）处的切线的斜率为3，f（1）=2+b=3，解得b=1f（x）=x2+x=x（x+1），=，S2016=（1）+（）+（）=1=故选C7用数学归纳法证明34n+1+52n+1（nN）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A56
12、34k+1+25（34k+1+52k+1）B34k+1+52k+1C3434k+1+5252k+1D25（34k+1+52k+1）【考点】数学归纳法【分析】根据指数运算法则化简34（k+1）+1+52（k+1）+1为34k+1+52k+1（kN）的倍数与8的倍数和的形式即可得到选项【解答】解：当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1=3434k+1+2552k+1=5634k+1+25（34k+1+52k+1）两个表达式都能被8整除，故选A8点P是曲线y=x21nx上任意一点，则点P到直线y=x2的距离的最小值是（）A1BC2D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间的距离
13、公式【分析】画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，然后求解即可【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，最近；故令y=2x=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x2的最小值为=；故选：B9已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=f（x）2x4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论【解答】解：设g（x）=f（x）2x4，则g（x）=f（x）2，
14、对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）=2，g（1）=f（1）+24=44=0，则函数g（x）单调递增，由g（x）g（1）=0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B10设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】令F（x）=f（x）g（x），则F（x）0，【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x0时，F（
15、x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0，F（x）在（，0）上为增函数；F（x）=f （x）g （x）=f （x）g （x）=F（x），F（x）为R上的奇函数，故F（x）在R上亦为增函数g（3）=0，必有F（3）=F（3）=0构造如图的F（x）=f （x）g（x）的图象，可知F（x）0的解集为（3，0）（3，+）00F（x）0，0的解集就是F（x）0的解集（3，0）（3，+）故选A11函数f（x）=x33x29x+3，若函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，则m的取值范围为（）A（24，8）B（24，1C1，8D1，8）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数g（x）=f（x
16、）m在x2，5上有3个零点，可转化为函数f（x）=x33x29x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，故求出函数的单调性与极值，对研究出函数的图象的特征，由图象求出m的取值范围即可【解答】解：函数g（x）=f（x）m在x2，5上有3个零点，即函数f（x）=x33x29x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，下研究函数f（x）=x33x29x+3的性质由题意f（x）=3x26x9令f（x）=3x26x90解得x3或x1又x2，5故f（x）=x33x29x+3在（2，1）与（3，5）上是增函数，在（1，3）上是减函数，x=2，1，3，5时，函数值对应为1，8，24，8其图象如图，可得1m8故选
17、D12已知函数f（x）=x3+ax2bx+1（a、bR）在区间1，3上是减函数，则a+b的最小值是（）ABC2D3【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x），因为函数在区间1，3上是减函数得到f（1）和f（3）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然即可求出b的最小值，求出a+b的值即可【解答】解：f（x）=x2+2axb，因为函数f（x）在区间1，3上是减函数即在区间1，3上，f（x）0，得到f（1）0，且f（3）0，代入得12ab0，且9+6ab0，由得2a+b1，由得b6a9，设u=2a+b1，v=b6a9，假设a+b=m
18、u+nv=m（2a+b）+n（6a+b）=（2m6n）a+（m+n）b，对照系数得：2m6n=1，m+n=1，解得：m=，n=，a+b=u+v2，则a+b的最小值是2故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13求由曲线y=（x+2）2与x轴及直线y=4x所围成的平面图形的面积【考点】定积分【分析】首先明确曲线与直线围成图形部分，利用定积分表示出来计算即可【解答】解：由曲线y=（x+2）2与x轴及直线y=4x所围成的平面图形如图，面积为=+=；故答案为：14设函数f（x）=（xa）（xb）（xc）（a、b、c是两两不等的常数），则+=0【考点】导数的运算【分析】首先将函数式f
19、（x）=（xa）（xb）（xc）整理变形为f（x）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）xabc，再利用导数将求出的f（a），f（b），f（c）的表达式代入即可【解答】解：f（x）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）xabc，f（x）=3x22（a+b+c）x+ab+bc+ca又f（a）=（ab）（ac），同理f（b）=（ba）（bc），f（c）=（ca）（cb）+=015将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为3+【考点】归纳推理【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为
20、前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n3）从左向右的第3个数，可先判断第n1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据【解答】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1行共有正整数1+2+（n1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+故答案为：3+16如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF的方程：【考点】直线的一般式方程；归纳推理【分析
21、】本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：【解答】解：由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足（1）求A的大小； （2）若a=2，且bc，求ABC的面积【考点】解三角形【分析】（1）由利用正弦定理得从而可求cosA进一步可求 A（2）由已知及（1）
22、中的A考虑利用余弦定理：a2=b2+c22bccosAb26b+8=0结合bc可求b，然后代入面积公式（法二）利用正弦定理可求sinC，进一步可求 C，利用三角形的内角和定理可求 A，然后代入三角形的面积公式可求【解答】解：（1）由利用正弦定理得：即：所以（2）由余弦定理：a2=b2+c22bccosAb26b+8=0，又bc得b=4所以也可利用正弦定理（法二）由正弦定理可得可得，bc可得C为锐角，故 C=60，B=90S=18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，C
23、D=（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若二面角MBQC为30，设PM=tMC，试确定t的值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）法一：由ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CDBQ由ADC=90，知QBAD由平面PAD平面ABCD，知BQ平面PAD由此能够证明平面PQB平面PAD法二：由ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CDBQ由ADC=90，知AQB=90由PA=PD，知PQAD，故AD平面PBQ由此证明平面PQB平面PAD（）由PA=PD，Q为AD的中点，知
24、PQAD由平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，知PQ平面ABCD以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3【解答】解：（）证法一：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQADC=90AQB=90，即QBAD又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，BQ平面PADBQ平面PQB，平面PQB平面PAD 证法二：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQADC=90AQB=90PA=PD，PQADPQBQ=Q，AD平面PBQAD平面PAD，平面PQB平面PAD（）PA=PD，Q为AD的中
25、点，PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），设M（x，y，z），则，在平面MBQ中，平面MBQ法向量为二面角MBQC为30，t=319已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18x语文人数y数学ABCA7205B9186Ca4b（）求抽取的学生人数；（）设该样本中，语文成绩优
26、秀率是30%，求a，b的值；（）已知a10，b8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表【分析】（）根据频率=，求出n的值，即得抽取的学生人数；（）根据语文成绩优秀率是30%，求出a的值，再利用样本容量n求出b的值；（）用列举法求出满足条件的（a，b）基本事件数，计算对应的概率即可【解答】解：（）根据题意，得；=0.18，解得n=100，即抽取的学生人数是100；（）由（）知，n=100；=30%，解得a=14；又7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，解得b=17；（）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩
27、为C等级的总人数少”为事件A，由（）得，a+b=31，且a10，b8；满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14种；其中b+11a+16的有：（10，21），（11，20），（12，19）共3种；所求的概率为P=20已知数列an的前n项和为Sn，且a1=（1）求an的通项公式；（2）设bn=n（2Sn），nN*，若bn，nN*恒成立，求实数的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1
28、）由已知得，其中nN*，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的其前n项和公式即可得出【解答】解：（1）由已知得，其中nN*，数列是公比为的等比数列，首项，（2）由（1）知，因此，当n=1，b2b10，即b2b1，n2，bn+1bn0，即bn+1bnb2是最大项b2=2，221已知函数f（x）=x33x2+xlna+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处切线与x轴交点的横坐标为2（1）求a：（2）当k1时，曲线y=f（x）与直线y=kx2只有一个交点，求x的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（
29、2）构造函数g（x）=f（x）kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）函数的导数f（x）=3x26x+lna；f（0）=lna；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=xlna+2，切线与x轴交点的横坐标为2，f（2）=2lna+2=0，解得a=e（2）当a=e时，f（x）=x33x2+x+2，设g（x）=f（x）kx+2=x33x2+（1k）x+4，由题设知1k0，当x0时，g（x）=3x26x+1k0，g（x）单调递增，g（1）=k1，g（0）=4，当x0时，令h（x）=x33x2+4，则g（x）=h（x）+（1k）xh（x）则h（x）=3x26x=3x（
30、x2）在（0，2）上单调递减，在（2，+）单调递增，在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（1）=k1，g（0）=4，则g（x）=0在（，0有唯一实根g（x）h（x）h（2）=0，g（x）=0在（0，+）上没有实根综上，当k1时，曲线y=f（x）与直线y=kx2只有一个交点时，x022已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=f（x）+sinx是区间1，1上的减函数（1）求a的值；（2）若g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，求t的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题【分析】（1）由奇函数的定义可知f（x）=f（x），代入可求a（2）
31、由（I）可求f（x），g（x），由已知可得g（x）0，分离系数可得1，则（t+1）+t2+sin+10（其中1）恒成立，令h（）=（t+1）+t2+sin1+10（1），则，解不等式可求【解答】解：（1）f（x）=ln（ex+a）是奇函数，ln（ex+a）=ln（ex+a）（ex+a）（ex+a）=1，1+aex+aex+a2=1，a（ex+ex+a）=0，故a=0.（2）由（I）知：f（x）=x，g（x）=x+sinx，g（x）在1，1上单调递减，g（x）=+cosx0cosx在1，1上恒成立，1g（x）=x+sinxt2+t+1在x1，1上恒成立，（t+1）+t2+sin1+10（其中1）恒成立，令h（）=（t+1）+t2+sin1+10（1），则恒成立，t12016年10月31日