1、导数基础练习一选择题 1已知直线ykx1与曲线yx3axb切于点(1,3)，则b的值为()A3B3C5 D5解析：y3x2a，ky|x13a.又点(1,3)为切点，解得b3.答案：A2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：y，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1. 答案：A3yx2cosx的导数是()A y2xcosxx2sinx By2xcosxx2sinxCy2xcosx Dyx2sinx解析： y2xcosxx2sinx.答案：B4设函数yxsinxcosx的图象上的点(x，y)处的切线斜率为k，若kg(x)，则函数kg(
2、x)的图象大致为()解析：kg(x)ysinxxcosxsinxxcosx，故函数kg(x)为奇函数，排除A、C；又当x(0，)时，g(x)0.答案：B5若函数f(x)excosx，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A0 B锐角C直角 D钝角解析：由已知得：f(x)excosxexsinxex(cosxsinx)f(1)e(cos1sin1)1.而由正余弦函数性质可得cos1sin1.f(1)0.即f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率k0，f(x)在(0,2)上递增答案：A9f(x)的导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()解析：x(，2)
3、(0，)时f(x)0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点答案：C11已知f(x)x3ax在又k1k21，则x1，x01.21设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1y1xx14代入得x(k)x140.P为切点，(k)2160得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5将代入抛物线方程得x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，x2，y24
4、.Q点的坐标为(，4)22.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)若yf(x)图象上的点(1，)处的切线斜率为4，求yf(x)的极大值解：(1)f(x)x22axb，由题意可知：f(1)4且f(1)，即解得f(x)x3x23x，f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x23.由此可知，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x1时，f(x)取极大值.23已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x
5、1x2|.解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax.当a0时，故f(x)0，f(x)在(0，)上单调增加；当a1时，f(x)0，故f(x)，在(0，)上单调减少；当1a0时，令f(x)0，解得x.则当x(0，)时，f(x)0；x( ，)时，f(x)0.故f(x)在(0, )上单调增加，在( ，)上单调减少(2)证明：不妨假设x1x2.由(1)知当a2时，f(x)在(0，)上单调减少，所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4.于是g(x)0.从而g(x)在(0，)上单调减少，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故对任意x1，x2 (0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.
