1、2.4.1抛物线及其标准方程一、选择题1抛物线yx2的焦点关于直线xy10的对称点的坐标是()A(2，1)B(1，1)C(，) D(，)答案A解析yx2x24y，焦点为(0,1)，其关于xy10的对称点为(2，1)2(2009全国卷)设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()A.B2C.D.答案C解析本题主要考查圆锥曲线的有关知识双曲线的渐近线方程为yx.渐近线与yx21相切，x2x10有两相等根，40，b24a2，e.3抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A2B3C4D5答案D解析解法一：y4，x24y16，x4，A(4,4
2、)，焦点坐标为(0,1)，所求距离为5.解法二：抛物线的准线为y1，A到准线的距离为5，又A到准线的距离与A到焦点的距离相等距离为5.4已知P(8，a)在抛物线y24px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2B4C8D16答案B解析抛物线准线方程为xp，由定义得p810，p2，2p4，故选B.5已知抛物线y22px(p0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则OFM的面积(O为原点)为()A1B.C2D2答案C解析抛物线准线方程为x，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4|5，由于p0，故p2，|OF|1，抛物线方程为y24x，则M(4，4)，于是SOFM2.6
3、设定点M与抛物线y22x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1d2取最小值时，P点坐标为()A(0,0) B(1)C(2,2) D.答案C解析连结PF，则d1d2|PM|PF|MF|知d1d2最小值是|MF|，当且仅当M、P、F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y与y22x，联立求得x2，y2；x，y(舍去)，此时，P点坐标为(2,2)7对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都是满足|PQ|a|，则a的取值范围是()A(，0) B(，2C0,2 D(0,2)答案B解析设点Q的坐标为(，y0)，由|PQ|a|，得y()2a2，整理得y(y168a)0，y0，
4、y168a0，即a2恒成立，而2的最小值为2.a2.8抛物线yx2(a0)的焦点坐标为()Aa0时为(0，a)，a0时为(0，)，a0时，x24ay的焦点为(0，a)；a0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离是()A6B4C2D1答案B解析由题意，得68，p4，即焦点到准线的距离为4.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点， 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A直线 B圆C双曲线 D抛物线答案D解析P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCDA1B1C1D1是正方体，D1C1侧面BCC1B1.D1C1
5、PC1，PC1为P到直线D1C1的距离，即PC1等于P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线二、填空题11已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p_.答案2解析抛物线的准线方程为：x，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知34，p2.12过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|_.答案8解析由抛物线定义，得|AB|AF|BF|x1x2x1x2p628.13在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_答案y28x解析
6、由题意可设抛物线方程为y22ax，点P(2,4)在抛物线上，424a，a4.即所求抛物线的方程为y28x.14若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动，为使|MA|MF|最小，点M的坐标应为_答案(2,2)解析将到焦点的距离转化为到准线的距离，由(3,2)向y轴作垂线和抛物线的交点，即为所求点三、解答题15已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)y26x；(2)2y25x0.解析(1)2p6，p3.又开口向右，焦点坐标是(，0)，准线方程为x.(2)将2y25x0变形为y2x.2p，p，开口向左焦点为(，0)，准线方程为x.16如图所示，P为圆M：
7、(x3)2y21上的动点，Q为抛物线y2x上的动点，试求|PQ|的最小值解析如图所示，连接QM、PM，且QM交圆M于R，设点Q坐标为(x，y)|PQ|PM|QR|RM|，|PQ|QR|，|PQ|min|QR|min|QM|min1.|QM|(当且仅当x时取“”)|PQ|min1，即|PQ|的最小值为1.17抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解析如右图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4),2p25.即抛物线方程为x225.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.|AB|43.84，即最长支柱的长为3.84米18如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|3，且|BN|6.建立适当的直角坐标系，求曲线段C的方程解析设A(xA，yA)、B(xB，yB)，且xAxB,0yAyB.点M(，0)，点N(，0)又|AM|，|AN|3.得xA.又y2pxA，y2p8，()2817，解得或又AMN为锐角三角形xA0)