1、江宁高级中学2013届高三上学期期中考试数学试题 2012.11.22班级 学号 姓名 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知是虚数单位，复数，则等于 2.“”是“成等比数列”的_必要不充分 _条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一） 。3. 已知的方差是3，则的标准差为 a1 b1 i4 WHILE i6 aa+b ba+b ii+1 END WHILE PRINT b 程序运行结果是 4. 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 5. 右图程序运行结果是 21 6. 等差数列的公差，且依次成等比
2、数列，则=_2_.7. 已知与，若两直线平行，则的值为8.在中，内角所对的边分别是，若，边上的中线的长为，则=_9_. 9.已知数列是等差数列，O为坐标原点，平面内三点共线，且，则数列的前2012项的和=_1006_. 10. 一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为_48_.11. 外接圆的半径为，圆心为，且，则 3 12. 设点分别为椭圆的左，右两焦点，直线为右准线若在椭圆上存在点，使，点到直线的距离成等比数列，则此椭圆离心率的取值范围是_ _
3、13.设曲线在点处的切线为,曲线在点 处的切线为.若存在,使得,则实数的取值范围为 14. 若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是 二.解答题（本大题共6小题，共90分）ABCC1B1A1FDE（第16题）OM15. （本小题满分14分）如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？解：（1）连接交于，连接因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，从而OF/C1EOF面ADF，平面，所以平面（2）当BM=1时，平面平面在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面
4、ABC由于AB=AC，是中点，所以又平面B1BCC1平面ABC=BC， 所以AD平面B1BCC1而CM平面B1BCC1，于是ADCM因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以，所以CMDF DF与AD相交，所以CM平面CM平面CAM，所以平面平面当BM=1时，平面平面16. （本小题满分14分） 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）设求的面积（1）；（2）17. （本小题满分14分）已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故 （2）18. (本小题满分16分)已知三
5、条直线，和，且与的距离是；（1）求：的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件： P是第一象限的点；点P到的距离是点P到的距离的；点P到的距离与点P到的距离之比是？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由。解：；19. (本小题满分16分)已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2) 当a 0时，求函数在上最小值.19、解： () (), 2分由，得 4分由，得 6分故函数的单调递增区间为,单调减区间是. 8分()当,即时,函数在区间1,2上是减函数,的最小值是. 10分 当，即时，函数在区间1,2上是增函数，的最小值是. 12分当，即时，函数在上是增函数，在是减函数又，当时,最小值是
6、；当时,最小值为. 15分综上可知,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是. 16分20. (本小题满分16分).已知数列和满足： =, =其中为实数，n为正整数.为数列的前项和.（1）对任意实数，证明:数列不是等比数列；（2）对于给定的实数，试求数列的通项公式，并求；（3）设（为给定的实常数）,是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有, 即（）2=矛盾.所以不是等比数列. - 4分（2）因为 当时，,由上可知，. 故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列 。，当时， - 8分（3）由（2）知，当时，,不满足题目要求. 要使对任意正整数成立，即 当为正奇数时，的最大值为, 的最小值为, 于是，由式得- 当时，由，不存在实数满足题目要求； 当存在实数，使得对任意正整数,都有,且的取值范围是. - 16分