1、20192020学年第一学期高二期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版必修3第二、三章，选修2-1，修2-2第一章1.11.4，第三章.第卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析】任意改存在，改为，否定结论即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故其否定为：，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定.2
2、.双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，即可求解.【详解】由题意可得，该双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程是.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3.在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先对复数进行乘法运算,整理至的形式,即可得出复数在复平面内对应的象限.【详解】解：因为,所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算及复平面,考查运算求解能力.4.已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为，则（ ）A. 2B. 3C
3、. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，可得和，再根据焦距计算出具体值，进行取舍.【详解】因为是焦点在轴上的椭圆，故，又故，解得故选：C.【点睛】本题考查椭圆方程，涉及的识别，属基础题.5.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”【答案】C【解析】对于 ，事件“甲分得1张白牌
4、”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件； 但中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.6.若抛物线上的点P到焦点的距离是5，则点P到x轴的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由抛物线定义，可知点到准线的距离，再进行适当变换即可求得.【详解】由题意可得，因为点P到准线的距离等于到焦点的距离5，故则点P到x轴的距离是.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，属抛物线基础题.7.记一个三位数的各位
5、数字的和为,则从不超过的三位奇数中任取一个,为偶数的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意写出满足条件的三位数,即可求得答案.【详解】三位数的各位数字的和不超过满足条件的三位数有:,共个,其中为偶数的三位数有,故所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型问题的概率,解题关键是掌握概率求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8.已知直线:与双曲线:(,)交于,两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为( )A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据点是弦的中点,两点横坐标之和等于,使用点差法,求出的值,即可求得答案.【详解】设点是弦的中点根
6、据中点坐标公式可得:,两点在直线:根据两点斜率公式可得:两点在双曲线上,即解得:故选:D.【点睛】此题考查根据直线与双曲线的交点坐标关系求解离心率,解题关键是掌握双曲线直线交点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9.已知点在椭圆：上，直线：，则“”是“点到直线的距离的最小值是”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】“点到直线的距离的最小值是”解得：，即可判断.【详解】点在椭圆：上，直线：，考虑“点到直线的距离的最小值是”设，点到直线的距离点到直线的距离的最小值是，即的最小值，所以符号恒正或恒负，当时，当时
7、，综上所述：.所以“”是“点到直线的距离的最小值是”的充分不必要条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.10.某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照, ,分成组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为;根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为;若该商场有名职工,考试成绩在分以下的被解雇,则解雇的职工有人;若该商场有名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过分(包括分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有人.
8、A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据频率分布直方图,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于,由频率分布直方图知众数估计值为:,故错误;对于,设为,则解得,故正确;对于,考试成绩在分以下的有人,故正确;对于,安全知识考试超过分(包括分)的人员有人,则安全科成员有人,故错误.故选:B.【点睛】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.11.现有下列四条曲线：曲线；曲线；曲线；曲线.直线与其相切的共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】先求出直线的斜率为,然后对曲线函数求导,代入求切点,如果切点在,即直线与曲线相切,即可求
9、得直线与四条曲线相切的共有几条.【详解】解：直线的斜率为,若,则由,得,点在直线上,则直线与曲线相切；若,则由,得,则直线与曲线相切；若,则由,得,都不在直线上,所以直线与曲线不相切；若,则由,得,其中在直线上,所以直线与曲线相切.故直线与其相切的共有条.故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.【详解】
10、由题：双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上，必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：当为钝角时，在中，设，有，即，所以；当时，所在直线方程，所以，根据图象可得要使，点向右上方移动，此时，综上所述：的取值范围是.故选：C【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线()的焦点坐标为,则_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义,即可求得答案.【详解】(),焦点坐标为,解得:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根
11、据抛物线焦点求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则_.【答案】0【解析】【分析】根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值.【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，所以由题：所以即.故答案为：0【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可.15.已知函数,()分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,且.若,则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】令,根据当时, 可得,因此函数在时单调递减,又为奇函数,由于,可得,即可求得答案.【详解】令.当时,
12、,函数在时单调递减；,的解集为函数,()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数,当时,的解集为综上所述,不等式的解集为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.已知在三棱锥中，则异面直线与所成角的余弦值是_.【答案】【解析】【分析】由勾股定理推导出,从而平面.以为原点,在平面中,过作的垂线为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值,即可求得答案.【详解】在三棱锥中,.平面以为原点,在平面中,过作的垂线为轴,为轴,为轴
13、,建立空间直角坐标系如图:则,.设异面直线与所成角为,异面直线与所成角的余弦值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了由向量法求异面直线夹角的余弦值,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的解法和向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数在上单调递减，关于的方程的两根都大于1.（1）当时，是真命题，求的取值范围；（2）若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（5,6）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性，要使函数在上单调递减，只需，即可求出命题为真时参数范围；（2）先求出
14、命题为真时的取值范围，求出方程的两根分别为和，由命题为真，得出，根据命题的关系，即可求解.【详解】（1）因为，所以因为是真命题，所以，所以.故的取值范围是（5,6）；(2)若是真命题，则，解得.关于的方程的两根分别为和.若是真命题，则，解得.因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以.【点睛】本题考查命题为真以及命题间充分不必要条件，求参数的取值范围，属于基础题.18.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均
15、数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于8090之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.【答案】（1）86,80.5；（2）.【解析】【分析】（1）找出茎叶图中出现次数最多的数为众数，根据平均数公式，即可求得平均数；（2）在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，按达标和不达标两类编号，列出从6人中任取2人的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，即可求解.【详解】(1)这组数据的众数为86；平均数为.(2)在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，将“达标”学生编号为，“未达标”学生编号为，则从6人中任取2人,有以下情况：，
16、.共15种.其中符合条件的为，共9种.故至少有1人“达标”的概率.【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，考查古典概型的概率，属于基础题.19.某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升计算(如剩余升,记为剩余升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为升,则该桌的每位客人还应付元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的组数据(其中表示饮酒人数,(升)表示饮酒量):,.剩余酒量(单位:升)升以上(含升)结账时的倍率（1）求由这组数据得
17、到的关于的回归直线方程;（2）小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请位或位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？参考数据:回归直线的方程是,其中,.【答案】（1）；（2）接受【解析】【分析】（1）计算出,结合所给数据,计算出,进而求得,即可求得答案;（2）小王和位朋友共人大约需要饮酒升,若不再邀请人,则剩余酒量升,酒吧记为剩余升,预计需要支付元,结合已知,即可求得答案.详解】（1）,回归直线方程为.（2）小王和位朋友共人大约需要饮酒升,若不再邀请人,则剩余酒量升,酒吧
18、记为剩余升,预计需要支付元;若再邀请人,大约需饮酒升,剩余酒量升,酒吧记为剩余升,预计支付元;若再邀请人,大约需饮酒升,剩余酒量升,酒吧记为剩余升,预计支付元.应该接受建议且再邀请位朋友更划算.【点睛】本题主要考查了求回归直线方程,解题关键是掌握求回归直线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，为的中点.（1）证明：平面.（2）若是等边三角形，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一证明和即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角.【详解】（1）证明：连接.因为，所以
19、，所以.因为为的中点，所以.因为为的中点，且，所以.因为，所以平面.（2）解：取的中点，连接，因为是等边三角形，所以.由（1）可知平面，则，两两垂直，故以为原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.因为底面是边长为4的等边三角形，所以.因为是等边三角形，所以.所以，则，.设平面的法向量，则，令，得.易知平面的一个法向量为，记二面角为，则，故.【点睛】此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数在上只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1
20、）先求函数的定义域,然后对函数求导,令导等于,得出,判断导在区间内的正负,即可得出函数的单调性.（2）令,得.根据函数在上只有一个零点,得,且,又,即可得的取值范围为.【详解】解：（1）的定义域为,令,则,在上,；在上,.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.（2）由,得.因为,且,又,所以的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性,利用导数和函数零点求参数,属于中档题.22.已知椭圆()的左、右焦点分别是，点为的上顶点，点在上，且.（1）求的方程；（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由已
21、知，求得的坐标为，代入椭圆方程，得；再由，求得，结合，求出值，即可求得结论；（2）先讨论直线斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出；再将直线方程与椭圆联立，求出，由求出的值，进而求出，再求出点到直线的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆的焦距为，的坐标为.在上，将代人，得.又，.又，的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率为0时，也不符合题意.可设直线的方程为,联立得，则，.由得或.又，.到直线的距离，.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.
