1、第1页压轴大题24分提高练(六)第2页20(12 分)已知椭圆：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过点 P(3,0)作直线 l 交椭圆 于 A，B 两点当直线 lx 轴时，|AB|7.(1)求椭圆 的标准方程；(2)若椭圆 上存在点 C，使得ABC 的重心恰好为坐标原点 O，求直线 l 的方程第3页解：(1)由题可知椭圆 经过点3，72，于是 9a2 74b21，又椭圆的离心率 eca 32，a2b2c2，由解得 a216，b24，椭圆 的标准方程为x216y241.第4页(2)由题意知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 xmy3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将
2、 xmy3 代入x216y241，整理得(m24)y26my70，y1y2 6mm24，y1y27m24，x1x2m(y1y2)6 24m24，ABC 的重心为坐标原点 O，第5页OC(OA OB)(x1x2)，(y1y2)24m24，6mm24，点 C 的坐标是 24m24，6mm24，将 24m24，6mm24 代入x216y241得 24m242166mm24241，解得 m 5，直线 l 的方程为 x 5y30.第6页21(12 分)已知函数 f(x)ex(1alnx)，其中 a0，设 f(x)为 f(x)的导函数(1)设 g(x)exf(x)，若 g(x)2 恒成立，求 a 的取值范
3、围；(2)设函数 f(x)的零点为 x0，函数 f(x)的极小值点为 x1，当 a2 时，求证：x0 x1.第7页解：(1)由题设知，f(x)ex(1axalnx)(x0)，g(x)exf(x)1axalnx，g(x)ax1x2(x0)当 x(0,1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增，故 g(x)在 x1 处取得最小值，且 g(1)1a.由于 g(x)2 恒成立，所以 1a2，得 a1，即 a 的取值范围为1，)第8页(2)设 h(x)f(x)ex(1axalnx)，则 h(x)ex(12ax ax2alnx)设 H(x)12ax ax2alnx(x0)，则 H(x)2ax22ax3axax22x2x30，故 H(x)在(0，)上单调递增，第9页因为 a2，所以 H(1)a10，H(12)1aln20，故存在 x2(12，1)，使得 H(x2)0，则 h(x)在区间(0，x2)上单调递减，在区间(x2，)上单调递增，故 x2 是 h(x)的极小值点，因此 x2x1.由(1)可知，当 a1 时，lnx1x1.第10页
