1、第六章 数列第1讲数列的概念与简单表示法基础知识整合1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an,摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式1在数列an中，若an最大，则若an最小，则2数列与函数的关系
2、数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列3数列通项公式的注意点(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的4递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式5通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列
3、，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an6数列an的an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an 1在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，中，x应取()A19 B20 C21 D22答案C解析a11，a21，a32，an2an1an，x81321，故选C.2数列0，的一个通项公式为()Aan BanCan Dan答案C解析将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n1)，nN*；分母为奇数列，可表示为2n1，nN*，
4、故选C.3在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是()A. B. C. D.答案C解析由已知得a21(1)22，2a32(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.故选C.4(2019济宁模拟)若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A. B. C. D30答案D解析当n2时，anSnSn1，5(51)30.5在数列an中，若a12，an(n2，nN*)，则a8()A1 B1 C. D2答案A解析因为a12，an(n2，nN*)，所以a21，a3，a42，所以an是周期数列，周期是3，所以a8a21.6在数列an中，a12，an1an，
5、则数列an_.答案3解析由题意，得an1an，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.核心考向突破考向一利用an与Sn的关系求通项公式 例1(1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.答案解析当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an(2)(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则S6_.答案63解析根据Sn2an1，可得Sn12an11，两式相减得an12an12an，即an12an，当n1时，S1a12a11，解得a11，所以数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以
6、S663.已知Sn求an的一般步骤(1)当n1时，由a1S1求a1的值；(2)当n2时，由anSnSn1，求得an的表达式；(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a1；(4)写出an的完整表达式即时训练1.(2019宁夏中卫市模拟)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，Sn.2设数列an的前n项和为Sn，若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析解法一：由解得a11.由an1Sn1Sn2Sn1
7、，得Sn13Sn1，所以Sn13，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn3n1，即Sn，所以S5121.解法二：由解得又因为an12Sn1，an22Sn11，两式相减，得an2an12an1，即3，又因为3，所以an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an13n，所以Sn，所以S5121.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)；(4)a12，an13an6(nN*)解(1)ana1(a2a1)(anan1)013(2n5)(2n3
8、)(n1)2，所以数列的通项公式为an(n1)2.(2)当n2，nN*时，ana11n，当n1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为ann.(3)因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3，又a112，所以an123n1，所以该数列的通项公式为an23n11.(4)因为an13an6，所以an133(an3)，又因为a12，所以a131，所以an3是首项为1，公比为3的等比数列，所以an33n1，所以an3n13.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求a
9、n. (3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank (4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解 即时训练3.在数列an中，a11，an1(nN*)，则是这个数列的()A第6项 B第7项C第8项 D第9项答案B解析由an1可得，即数列是以1为首项，为公差的等差数列，故1(n1)n，即an，由，解得n7.故选B.4若数列an满足：a11，an1an2n，则数列an_.答案2n1解析由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.5在数列an中，a
10、14，nan1(n2)an，则数列an_.答案2n(n1)(nN*)解析由递推关系得，又a14，ana1442n(n1)(nN*)精准设计考向，多角度探究突破考向三数列的性质角度1数列的单调性例3(2019永州模拟)已知数列an中，a1a，a22a，an2an2，若数列an单调递增，则实数a的取值范围为_答案(0,1)解析由an2an2可知数列an的奇数项、偶数项分别递增，若数列an单调递增，则必有a2a1(2a)a0且a2a1(2a)aan2an2，可得0aan1，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由题意知解得aa1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最
11、大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，知56，10a0，b1b2b3b4b5b6.当n6,7,8，时，bn1bnb7b8，bn的最大值是b6.实数k的取值范围是.答题启示在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式判断数列类型，求得其通项公式对点训练1(2019陕西咸阳模拟)已知正项数列an中，(nN*)，则数列an的通项公式为()Aann Bann2 Can Dan答案B解析(nN*)，(n2)，两式相减得n，ann2(n2)，又1，a11，符合上式，故选B.2已知a12a222a32n1an96n，则数列an_.答案解析令Sna12a222a32n1an，则Sn96n，当n1时，a1S13；当n2时，2n1anSnSn16，an.而n1时，a13，不符合上式，通项公式an