1、第3讲平面向量的数量积及应用基础知识整合1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3向量数量积的运算律交换律abba分配律(ab)cacbc数乘结合律(a)b(ab)a(b)4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1
2、)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2数量积不满足结合律，即(a b)ca(bc)3当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aaa2或|a|.4有关向量夹角的两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为a与b夹角为0时也有ab0)(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为a与b夹角为
3、时也有ab0)1(2019重庆模拟)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.答案C解析因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3.选C.2(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A. B2 C5 D50答案A解析ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.故选A.3(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，即ab|b|20.又ab|a|b
4、|cos，|a|2|b|，2|b|2cos|b|20，cos.又0，.故选B.4(2019泉州质检)已知正六边形ABCDEF的边长为1，则()的值为()A. BC. D答案D解析由图知，与的夹角为120.()cos12012.5(2019北京高考)已知向量a(4,3)，b(6，m)，且ab，则m_.答案8解析ab，ab0.又a(4,3)，b(6，m)，463m0，解得m8.6已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_答案11解析()()|2.因为，所以0.所以1201.设AEAB(01)，则()|2(01)，所以的最大值为1.核心考向突破考向一平面向量数量积的
5、运算 例1(1)(2019绍兴模拟)已知向量a，b满足|a|，(a2b)a，则向量b在向量a方向上的投影为()A B. C. D答案A解析(a2b)a，(a2b)a22|a|b|cosa，b0，|a|b|cosa，b1，即|b|cosa，b1，向量b在向量a方向上的投影为|b|cosa，b，故选A.(2)(2019天津高考)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.答案1解析ADBC，且DAB30，ABE30.又AEBE，EAB30.E120.在AEB中，AEBE2.()()21222cos3052cos3052cos1801261510
6、1.求向量a，b的数量积ab的三种方法(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解即时训练1.(2019湖北荆门模拟)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D答案A解析(2,1)，(5,5)，由定义知在方向上的投影为.2(2020江西白鹭中学调
7、研)已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则_.答案4解析由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(2,0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0,0)，则(1,1)(0,2)(1，1)(2,0)224.准设计考向，多角度探究突破考向二平面向量数量积的性质角度1平面向量的垂直例2(1)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.答案D解析不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，由(ca)b，得3(1m)2(2n)，由c(ab)，得3mn0，联立，解得故选D.(2)(2019沈阳东北育才
8、学校模拟)已知与的夹角为150，|，且，则的值为_答案解析由，得0，即()()()22()1()2120，因而.角度2平面向量的模 例3(1)(2019济南模拟)设向量a，b满足|a|1，|ab|，a(ab)0，则|2ab|()A2 B2 C4 D4答案B解析a(ab)0，|a|1，a2ab1，又|ab|2a22abb23，b24，|2ab|2.故选B.(2)(2020湖南雅礼中学模拟)在矩形ABCD中，|4，|2，则|()A. B3 C4 D2答案C解析由向量加法的平行四边形法则可知，则原式2|24.角度3平面向量的夹角 例4(1)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a
9、与b的夹角为()A. B. C. D答案A解析由条件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又因为|a|b|，所以ab322b2b2，所以cosa，b，所以a，b.故选A.(2)(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.答案解析由题意，得cosa，c.平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|；|ab|；若a(x，y)，则|a|.即时训练3.(2019济
10、宁模拟)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B正方形 C菱形 D梯形答案C解析因为0，所以，所以四边形ABCD是平行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形故选C.4(2019江西六校联考)设向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|3，则|a2b|_.答案4解析由|ab|3知|a|2|b|22ab9，又|a|2，|b|3，2ab4，|a2b|4.5(2019安徽“江淮十校”联考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b的夹角余弦值为_答案解析|a|a2b|，|a|2|a|24ab4|b|2，ab|b|2，cos.考向三向量运算
11、的最值或范围问题例5(1)(2019四川双流中学模拟)已知平面向量，满足|1，若|1，则|的最大值为()A.1 B.1 C.1 D.1答案D解析因为|1，所以cosAPB，即APB，由余弦定理可得AB，如图，建立平面直角坐标系，则A，B，由题意知点C(x，y)在以B为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知，当点C(x，y)运动到点D时，|取最大值，即|max|11，故选D.(2)在平行四边形ABCD中，A，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_答案2,5解析如图，在平行四边形ABCD中，设(01)，则，(1)(1)，则()()()(1)(1)2
12、2(1).又21cos1，24，21，225(1)26.01，25，即的取值范围是2,5与向量相关的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围即时训练6.(2019湖南师大附中模拟)已知a，b为单位向量，且ab，向量c满足|cab|2，则|c|的取值范围为()A1,1 B2，2C，2 D32，32答案B解析设Oab，Oc，则AOOc(ab)，由|a|b|1，ab，得|O|ab|，又|A|cab|2，所以点B在以A为圆心，2为半径的圆上运动，故2|c|
13、2，故选B.7(2019浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i1,2,3,4,5,6)取遍1时，|123456|的最小值是_，最大值是_答案02解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则(1,0)，(0,1)设a12345612345()6()(1356)(2456)(1356，2456)故|a|.i(i1,2,3,4,5,6)取遍1，当13560，24560时，|123456|取得最小值0.考虑到56，56有相关性，要确保所求模最大，只需使|1356|，|2456|尽可能取到最大值，即当13562，24564或13564，24562时可取
14、到最大值，|123456|的最大值为2.(2018天津高考)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9 C6 D0答案C解析解法一：(基向量法)如图所示，连接MN，由2，2可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则33()，由题意可知，2121，12cos1201，结合数量积的运算律可得，3()332336.故选C.解法二：(坐标法)在ABC中，不妨设A90，取特殊情况ONAC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为MON120，ON2，OM1，所以O，C，M，B.故6.故选C.答题启示向量
15、与平面几何综合问题的解法(1)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(2)坐标法若把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 对点训练(2019石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，|12，|8.若点M，N满足3，2，则()A20 B15 C36 D6答案C解析解法一：由3，2知，点M是BC的一个四等分点，且BMBC，点N是DC的一个三等分点，且DNDC，所以，所以，所以36.故选C.解法二：不妨设DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系则M(12,6)，N(8,8)，所以(12,6)，(4，2)，所以1246(2)36.故选C.
