1、4.万有引力理论的成就目标导航 学习目标 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。重点难点 重点:1.天体运动的处理思路。2.中心天体质量的计算。难点:在具体的天体运动中应用万有引力定律解决问题。激趣诱思“科学真是迷人”地球的质量是多少?在生活中像买菜、买米等质量较小的物体,我们都可以用称量工具(例如台秤、电子秤、天平)直接称出其质量。但还有一些遥不可及的庞然大物,例如太阳、地球等天体,不可能用天平称量。在牛顿之前,如果有人提出“称天体的质量”,一定被认为是天方夜谭。阅读课文,思考下列问题:
2、(1)为什么卡文迪许被称为是“能称出地球质量的人”?(2)卡文迪许在实验室里“称量”了地球的质量,你能“称出”太阳的质量吗?需要知道哪些条件?简答:(1)卡文迪许测出了引力常量 G,利用地面的重力加速度 g和地球半径 R 就可以计算出地球的质量。(2)能;已知行星绕太阳运动的周期、半径等,利用万有引力定律和圆周运动、牛顿运动定律的知识可以求出太阳的质量。预习导引一、计算天体的质量1.地球质量的计算利用地球表面的物体:若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m 的物体受到的重力等于地球对物体的引力,即 mg=2,则 M=2,由于 g、R 已经测出,因此可计算出地球的质量。2.计算太阳的质量利用某一行
3、星:将行星绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动,向心力由它们之间的万有引力提供,其牛顿第二定律方程是_,由此可得太阳的质量为 M=4232。3.其他行星的质量计算利用绕行星运转的卫星,若测出该卫星与行星间的距离和转动周期,同样可得出行星的质量。G2=m(2)2r 预习交流既然能够“称量”出地球的质量,能否计算出地球的平均密度?如果能计算出,需要测出哪些物理量?提示:能计算出地球的平均密度。把地球看成质量分布均匀的球体,其质量为 M=2,又 M=V,V=43R3,所以地球的平均密度为=34,此时需要测出地球的半径和地球表面的重力加速度。二、发现未知天体1.对已发现天体轨道的推算18 世纪,人们观测到
4、太阳系第七颗行星天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。2.未知天体的发现根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的位置,如海王星和冥王星就是这样发现的。一、天体质量和密度的计算知识精要1.计算天体质量的方法不仅适用于地球,也适用于其他任何星体。注意方法的拓展应用,明确计算出的是中心天体的质量。2.天体的质量计算是依据物体绕中心天体做匀速圆周运动,万有引力充当向心力,列出有关方程求解的,因此解题时首先应明确其轨道半径,再根据其他已知条件列出相应的方程。涉及方程有:G2=m2=m2r=422=m(2f)2r。3.天体质量的计算(1)已知天体的表面的重力加速度和半径,
5、根据公式 M=2 求解;(2)已知天体的一颗行星(或卫星)运动的周期 T 和轨道半径 r,利用公式 M=4232 求解。4.天体密度的计算(1)已知天体的半径 R,某星体绕该天体运动的轨道半径为 r,其周期为 T,则天体的密度=3323。(2)已知天体表面处的重力加速度 g 和天体的半径 R,则=34。思考探究1.应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么?答案:应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是:根据环绕天体的运动情况,求出其向心加速度,然后根据万有引力充当向心力,进而列方程求解。2.以地球为例,试探究如何求得地球的质量。答案:(1)已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和运行的周
6、期 T,则由 G2=mr422 得 M=4232。(2)已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和运行的线速度 v,则由 G2=m2 得 M=2。(3)已知卫星的线速度 v 和运行周期 T,则由G2=mv=mv2=m2 得 M=32。(4)已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g,则由mg=G2 得 M=2(黄金代换)。3.能否应用万有引力定律求解环绕天体的质量?答案:不能。由 G2=m2 可知,利用此公式只能求出中心天体的质量,而不能求出环绕天体的质量,因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边,已被约掉。典题例解【例 1】(多选)要计算地球的质量,除已知的一些常数外还需知道某些数据,下列
7、给出的各组数据中,可以计算出地球质量的是()A.已知地球半径 RB.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和线速度 vC.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 TD.已知地球公转的周期 T及运转半径 r解析:设相对于地面静止的某一物体质量为 m,地球的质量为 M,根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得mg=G地2,解得地球质量为 M 地=2,所以选项 A 正确。设卫星的质量为 m,根据万有引力提供卫星运转的向心力,可得G地2=m2,解得 M 地=2,故选项 B 正确。再根据 G地2=mr 2 2,G地2=m2,以上两式消去 r 解得 M 地=32,故选项 C 正确
8、。若已知地球公转的周期 T及运转半径 r,只能求出地球所围绕的中心天体太阳的质量,不能求出地球的质量,所以选项 D 错误。答案:ABC迁移应用1.已知引力常量 G,地球半径 R,月球和地球之间的距离 r,同步卫星距地面的高度 h,月球绕地球的运转周期 T1,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速度 g,某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量 M 的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,由 G2=m(22)2h,得M=42322。请判断上面的结果是否正确,并说明理由;如不正确,请给出正确的解法和结果。解析:上面的结果是错误的。地球的半径 R 在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果:G(+)2=m(
9、22)2(R+h),得 M=42(+)322。答案:见解析2.假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星,若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为 T1,已知引力常量为G,则该天体的密度为 。若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为 T2,则该天体的密度又可表示为 。解析:设卫星的质量为 m,天体的质量为 M,卫星贴近天体表面运动时有 G2=m4212R 得 M=42312。根据数学知识可知天体的体积 V=43R3,故该天体的密度=42312433=312。卫星距天体表面的高度为 h 时有 G(+)2=m4222(R+h)得 M=42(+)322,=42(+)
10、322433=3(+)3223。答案:312 3(+)3223二、应用万有引力定律解决天体运动问题知识精要1.解决天体运动问题的基本思路一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基本关系式:G2=ma,式中 a 是向心加速度。2.常用的关系式(1)G2=m2=m2r=m422 r,万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg=G2 即 gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。3.四个重要结论设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动。(1
11、)由 G2=m2,得 v=,r 越大,天体的 v 越小。(2)由 G2=m2r,得=3,r 越大,天体的 越小。(3)由 G2=m 2 2r,得 T=2 3,r 越大,天体的 T 越大。(4)由 G2=man,得 an=2,r 越大,天体的 an 越小。以上结论可总结为“一定四定,越远越慢”。思考探究1.解决天体运动问题的基本思路是什么?答案:天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用,解决问题的基本思路有两条:思路 1利用在中心天体表面或附近万有引力近似等于重力,即 G2=mg0(g0 表示天体表面的重力加速度)。注意:在研究卫星的问题中,若已知中心天体表面的重力
12、加速度g0 时,常运用 GM=g0R2 作为桥梁,把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代换的作用巨大,此式通常称为“黄金代换式”。思路 2利用万有引力提供向心力。由此得到一个基本公式 G2=ma,式中 a 表示向心加速度。而向心加速度又有 a=2、a=2r、a=v、a=422、a=g 这样几种表达形式,要根据具体问题,把这几种表达式代入公式讨论相关问题。2.设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r的匀速圆周运动,试推导出天体运动的线速度、角速度、周期和向心加速度。答案:(1)由 G2=m2 得 v=。(2)由 G2=m2r 得=3。(3)由 G2=m(2)2r 得 T=2
13、 3。(4)由 G2=man 得 an=2。典题例解【例 2】(多选)据观测,某行星外围有一模糊不清的环,为了判断该环是行星的连续物还是卫星群,又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离 R,以下判断中正确的是()A.若 v 与 R 成正比,则环是连续物B.若 v 与 R 成反比,则环是连续物C.若 v2 与 R 成反比,则环是卫星群D.若 v2 与 R 成正比,则环是卫星群思路分析:(1)若环是行星的连续物,则其角速度与行星自转的角速度相同。(2)若环是行星的卫星群,则由 G2=m2 可得 v2=G。解析:若环是行星的连续物,则其角速度与行星自转的角速度相同,故 v 与 R 成正比
14、,A 对,B 错。若环是行星的卫星群,则由 G2=m2可得 v2=G,即 v2 与 R 成反比,C 对,D 错。答案:AC迁移应用1.(多选)如图所示,飞船从轨道 1 变轨至轨道 2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动,不考虑质量变化,相对于在轨道 1 上,飞船在轨道 2 上的()A.动能大B.向心加速度大C.运行周期长D.角速度小解析:对卫星,万有引力提供向心力 G2=ma=m2,得v=,a=2,可见 r 越大,运行速度 v 越小,动能就越小,加速度 a 越小,周期 T=2 越大,角速度=越小,选项 C、D 正确。答案:CD2.天文学家发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球”,名为“55 C
15、ancrie”。该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 1480,母星的体积约为太阳的 60 倍。假设母星与太阳密度相同,“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动,则“55 Cancrie”与地球的()A.轨道半径之比约为 604803B.轨道半径之比约为 6048023C.向心加速度之比约为 60 48023D.向心加速度之比约为 60 4803解析:由公式 G2=m(2)2r,可得通式 r=2423,则12=12 12223=6048023,从而判断 A 错,B 对;再由 G2=ma 得通式 a=G2,则12=12 2212=12 24143=60 48043,所
16、以 C、D 皆错。答案:B双星模型知识链接在天体运动中,将两颗彼此相距较近且在相互之间万有引力作用下,绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。1.双星系统宇宙中往往会有相距较近,质量相差不多的两颗星球,它们离其他星球都较远,因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下,它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动,这种结构叫作双星系统。2.双星系统的特点(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,故两星的角速度、周期相等;(2)两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力,所以它们的向心力大小相等;(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即 r1+r
17、2=L。案例探究天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动,那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的黑洞。星球与黑洞由于万有引力的作用组成双星,并以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动,那么()A.它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B.它们做圆周运动的周期与其质量成反比C.它们做圆周运动的半径与其质量成反比D.它们所受的向心力与其质量成反比解析:由于该双星和它们做圆周运动的圆心总保持三点共线,所以在相等时间内转过的角度必相等,即它们做匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相等,选项 A、B 错误。因为它们所受的向心力都是由它们之间的相互作用力来提供的,所以大小必然相等,选项 D 错误。由 F=m2r,可得 r1,选项 C 正确。答案:C思悟升华求解双星问题的思路1.两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力。2.两个星球的角速度和周期都相同。3.两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点。4.两个星球的轨道半径之和等于它们之间的距离。