1、3.7解三角形组基础题组1.(2015浙江衢州一模,6)若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC=51113,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形2.(2015浙江绍兴模拟,6)在ABC中,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.B.C.D.3.(2016杭州七校期中,6,5分)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(C-A)=1,则()A.a,b,c成等比数列B.a,b,c成等差数列C.a,c,b成等比数列D.a,c,b成等差数列4.(2015浙江湖州中学月
2、考)若满足条件C=60,AB=,BC=a的ABC有两个,那么a的取值范围是()A.(1,)B.(,)C.(,2)D.(1,2)5.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.6.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的平分线AD=,则AC=.7.(2016杭州七校期中,13,4分)设ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,三角形的面积为S,若S=a2-(b-c)2,则=.8.(2016杭州五校联盟月考,9,6分)在ABC中,已知a=2,b=x,B=30.如果x=1,则A=;如果x=,则A=.9.(2016超级中学原创预测卷五,13,4
3、分)在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且满足a=b2-c2,tanB=2tanC,则a=.10.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos370.80,1.73)11.(2015石家庄一模)如图,有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到达对岸),某人想测量两座建筑物尖顶A,C之间的距离,但只有卷尺和测角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF,用卷尺
4、测得EF的长度为a,并用测角仪测量了一些角度:AEF=,AFE=,CEF=,CFE=,AEC=.请写出计算A,C之间距离的步骤和结果.12.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.13.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sinAsinB=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,ABC的面积为6,求边长c的值.14.(2016超级中学原创预测卷二,16,14分)已知
5、在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin2A=3sinBsinC,ta=b+c(tR).(1)当t=,a=3时,求b,c的值;(2)当角A为钝角时,求t的取值范围.15.(2015浙江新高考研究(海宁高级中学)卷三,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos2+ccos2=.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若B=60,b=4,求ABC的面积.16.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.B组提升题组1.钝角三角形的三边长
6、分别为a,a+1,a+2,其中最大内角不超过120,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.2.(2015武汉4月调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,B,C成等差数列,2a,2b,3c成等比数列,则cosAcosC=()A.0B.C.D.3.(2015昆明三中、玉溪一中统考)已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC等于()A.B.C.-D.-4.(2016宁波慈溪中学期中文,4,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,A=60,若三角形有两解,则b的取值范围为()A.(0,
7、1)B.C.(1,2)D.5.(2016领航高考冲刺卷二,5,5分)在ABC中,已知B=60,最大边与最小边的比值为,则ABC的最大角为()A.60B.75C.90D.1056.(2016超级中学原创预测卷三,5,5分)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,且ABC的面积SABC=,则角C的值为()A.B.C.D.7.(2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则=.8.(2014江苏,14,5分)若ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.9.(2014课
8、标,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100m,则山高MN=m.10.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.11.(2016温州高三返校联考,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知ABC的面积S=a2-(b-c)2.(1)求sinA与cosA的值;(2)设=,若tanC=2,求的值.12.(2016新昌中学期中,16,14分)在ABC中,已知AB=2A
9、C.(1)若A=60,BC=2,求ABC的面积;(2)若AD是BAC的平分线,且AD=kAC,求k的取值范围.13.(2016东阳中学期中,16,14分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m在区间上的最大值为.(1)求实数m的值;(2)在ABC中,三内角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,且f=1,a+c=2,求b的取值范围.14.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sinA+sinC的取值范围.15.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,16)设ABC的内角A,B,C所对
10、的边分别为a,b,c,且acosC+c=b.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求ABC的内切圆半径R的最大值.16.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,16)已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x-.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b+c=+1,a=1,若f(A)=,求ABC的面积.组基础题组1.C由正弦定理=2R(R为ABC外接圆半径)及已知条件sinAsinBsinC=51113,可设a=5x,b=11x,c=13x(x0).则cosC=0,C为钝角.ABC为钝角三角形.2.B由余弦定理得AB2+4-2AB2c
11、os60=7,解得AB=3或AB=-1(舍去),设BC边上的高为x,由三角形面积公式得BCx=ABBCsin60,解得x=,故选B.3.A由cos2B+cosB+cos(C-A)=1知cos(C-A)-cos(C+A)=1-cos2B=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,即ac=b2,故选A.4.C由正弦定理得=,a=2sinA.C=60,0A120.又满足条件的ABC有两个,asin60a,即a0,所以t0,由a2=b2+c2-2bccosA,得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA=t2a2-a2-a2cosA,即t2=+cosA.因为A,所以-1cosA0,所以1t2,所以
12、1t.故t的取值范围为1t.15.解析(1)证法一:acos2+ccos2=a+c=b,即a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b,由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB,即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,sinA+sinC=2sinB.由正弦定理得a+c=2b,故a,b,c成等差数列.证法二:acos2+ccos2=a+c=b,a+c+(acosC+ccosA)=3b,结合余弦定理得a+c+b=3b,整理得a+c=2b,故a,b,c成等差数列.(2)由B=60,b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60,(a+c)2-3
13、ac=16.由(1)知a+c=2b,代入上式得4b2-3ac=16,解得ac=16.ABC的面积S=acsinB=16sin60=4.16.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.B组提升题组1.A因为a,a+1,a+2是三角形的三边长,所以a+21,设三角形的最大内角是,则90cos=-,解得a0,得b1,所以b.5.B设角A,B,C
14、的对边分别为a,b,c,不妨令=,由正弦定理得=,即=,tanC=1,C=45,A=75.ABC的最大角为75.6.Ac2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab+6,又c2=a2+b2-2abcosC,ab(1-cosC)=3,又SABC=absinC=,ab=,代入ab(1-cosC)=3可得sinC=(1-cosC),再由sin2C+cos2C=1可得3(1-cosC)2+cos2C=1,解得cosC=或cosC=1,C(0,),cosC=,C=,故选A.7.答案2解析利用余弦定理,将bcosC+ccosB=2b转化为b+c=2b,化简得=2.8.答案解析sinA+sinB=2sinC,由
15、正弦定理得a+b=2c,cosC=,当且仅当a=b时等号成立,故cosC的最小值为.9.答案150解析在RtABC中,CAB=45,BC=100m,所以AC=100m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理得,=,因此AM=100m.在RtMNA中,AM=100m,MAN=60,由=sin60得MN=100=150m.10.答案解析令BAM=,BAC=,则|CM|=|AM|sin(-),M为BC的中点,|BM|=|AM|sin(-).在AMB中,由正弦定理知=,即=,sin=,cos=,=cos=sincos-cos2,整理得1=2sincos-cos2,解得ta
16、n=,故sin=.11.解析(1)由题意可得bcsinA=(a2-b2-c2+2bc)=- bccosA+bc,所以sinA+2cosA=2,又sin2A+cos2A=1,可得(2)易得sinC=,cosC=,则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以=.12.解析(1)AC2+AB2-BC2=2ACABcosA,5AC2-4=2AC2,AC=,SABC=ABACsinA=.(2)设CAD=,则SABC=ABACsin2=AC2sin2,又SABC=ABADsin+ACADsin=ACADsin=kAC2sin,k=cos,k.13.解析(1)f(x)=sin+m
17、+1,f(x)的最大值为,m+1=0,m=-1.(2)由(1)知f(x)=sin,则f=sin=1,易得B=,由正弦定理得b=sinB=1,2).故b的取值范围为1,2).14.解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得=,所以sinB=cosA,即sinB=sin.又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-=-2A0,所以A.于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2+.因为0A,所以0sinA,因此-2+.由此可知sinA+sinC的取值范围是.15.解析(1)由正弦定理,得sinAcos
18、C+sinC=sinB,又sinB=sin(A+C),故sinC=cosAsinC,又sinC0,cosA=.A(0,),A=.(2)由a=1,SABC=(a+b+c)R=bcsinA=bc,得R=.由余弦定理,得1=b2+c2-bcbc=,R=(b+c-1).bc,01,1b+c2,Rmax=,等号当且仅当b=c=1时成立.16.解析(1)f(x)=sin2x+cos2x=sin,则函数f(x)的最小正周期为.(4分)令2k-2x+2k+(kZ),得k-xk+(kZ),故函数f(x)的单调增区间为,kZ.(7分)(2)由f(A)=,得sin=,因为0A,所以2A+2+,则2A+=,得A=.由a=1,=cosA=,得b2+c2=1+bc,又b+c=+1,则b2+c2+2bc=4+2,从而有(2+)bc=3+2=(2+),得bc=,则SABC=bcsin=.(15分)