1、第4讲直接证明与间接证明基础知识整合1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推
2、出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立简言之，否定归谬断言分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用1分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证： 0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0答案C解析ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.2用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是
3、偶数时，下列假设中正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c中至多有一个偶数D假设a，b，c中至多有两个偶数答案B解析“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”故选B.3若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCPQ D由a的取值确定答案C解析要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，即比较2a72与2a72的大小，既而比较与的大小，即比较a27a与a27a12的大小，只需比较0与12的大小，012，Pb0，且xa，yb，则()Axy Bx0，所以ab.故选A.5若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的
4、是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由，得a2abb2.6(2019扬州调研)设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_答案mn解析解法一：(取特殊值法)取a2，b1，得mn.解法二：(分析法)a0，显然成立核心考向突破考向一综合法证明例1已知sin，sinx，cos成等差数列，sin，siny，cos成等比数列，证明：2cos2xcos2y.证明sin与cos的等差中项是sinx，等比中项是siny，sincos2sinx，sincossin2y，22，可得(sincos)22sincos4sin2x2sin2y，
5、即4sin2x2sin2y1.421，即22cos2x(1cos2y)1.故证得2cos2xcos2y.综合法证明的思路(1)分析条件，选择方向分析题目中的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法(2)转化条件，组织过程把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化(3)适当调整，回顾反思回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取即时训练1.设a，b，c0，证明：abc.证明因为a，b，c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c，三式相加，得abc2(abc)，即abc，当且仅当abc
6、时等号成立考向二分析法证明例2已知：a0，b0，ab1，求证： 2.证明要证 2，只需证ab24，又ab1，故只需证 1，只需证ab(ab)1，只需证ab.因为a0，b0,1ab2，所以ab，故原不等式成立.分析法证明的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证易错警示：分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写即时训练2.已知正数a，b，c满足abc1，求证：.证明欲证，则
7、只需证()23，即证abc2()3，即证1.又1，当且仅当abc时取“”所以原不等式成立精准设计考向，多角度探究突破考向三反证法证明角度证明否定性命题例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减，得an1an，所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pq0，ax，by，cz，
8、求证：a，b，c三数至少有一个不小于2.证明假设a，b，c都小于2，则abc6.而事实上abcxyz2226(当且仅当xyz1时取“”)与abc，(1b)c，(1c)a，因为a，b，c(0,1)，所以三式同向相乘，得(1a)b(1b)c(1c)a.又(1a)a2，同理(1b)b，(1c)c，所以(1a)a(1b)b(1c)c，这与假设矛盾，故原命题正确证法二：假设三式同时大于，因为0a0， ，同，三式相加，得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题正确5已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明：方程f(x)0没有负数根证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x10.a1，ax2x11且ax10，ax2ax1ax1(ax2x11)0.又x110，x210，0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x01，0ax01，01，即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)0没有负数根