1、甘肃省庆阳市镇原中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、单选题1. 复数为虚数单位)，则 ()A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C.2. 已知，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】 ,选D.3. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. 和D. （-3,）【答案】D【解析】函数f(x)=(3-x2)ex，f(x)=-2xex+(3-x2)ex=(3-2x-x2)ex.由f(x)0，得到f(x)=(3-2x-x2)ex0，即3-2x-x20，则x2+2x-30，解得-3x1，即函数的单调增区间为（-3，1）.本题选择D选项.4. 正弦
2、函数是奇函数（大前提），是正弦数（小前提），因此是奇函数（结论），以上推理（）A. 结论正确B. 大前提错误C. 小前提错误D. 以上都不对【答案】C【解析】试题分析：根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：因此是奇函数，因为该函数为非奇函数，故结论错误以上推理形式中小前提错误故选C考点：演绎推理基本方法5. 在数列中， ，猜想这个数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将两边同时取倒数，可得 是等差数列，求出，即可求【详解】将两边同时取倒数，得 ， ，即是
3、首项为 ，公差为的等差数列， 故选：【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式求通项公式，属于常考题型.6. 如图，阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.【详解】设阴影部分的面积为，则.选C【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.7. 已知平行四边形的三个顶点、分别对应的复数为、，则第四个顶点对应的复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可求得、三点的坐标，利用可求得点的坐标，进而可求得点对应的复数.【详解】由已知条件可得、，设点的坐标为，四边形为平行四边形，则，即，解得，即点，因此
4、，点对应的复数为.故选：B.【点睛】本题考查点对应的复数的计算，同时也考查了平面向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题.8. 设球的半径为时间t的函数若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A. 成正比，比例系数为CB. 成正比，比例系数为2CC. 成反比，比例系数为CD. 成反比，比例系数为2C【答案】D【解析】【详解】由题意可知球的体积为,则，由此可得,而球的表面积为，所以.故选：D.【点晴】本题考查球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力.求出球的表达式，然后求球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球的半径的比例关系.本题是将几何体的
5、表面积和导数的知识结合到一起，对学生的能力考查比较着重，综合性较强.9. 函数的极值点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用极值点与导函数零点的关系，有极值点的个数即为零点的个数，结合的二次型解析式有，即可判断零点个数，同时就确定了极值点的个数【详解】函数的极值点的个数，等价于其导函数的零点个数即时实数解的个数有两个不同的零点.故选：C【点睛】本题考查了导数零点与函数极值点的关系，利用了函数极值点与其导函数零点的个数相同，确定极值点的个数10. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】求导，将代入即可求出.【详解】已知函数 则 故
6、选A.【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.11. 设是上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为所以当时，即在上单调递增，且又因为所以如图所示，所以的解集为故选D.考点：1、应用导数求单调性【思路点晴】本题主要考查的是应用导数求函数的单调性，属于难题.由是奇函数可知，图像关于原点对称，只需做出时的图像，则整个图像就可以做出来. 时，在上单调递增. 图像上有一点这样的大致图像就如图所示，的解集就是分布在三四象限的图像对于的x的集合.12. 设动直线与函数，图像分别交于，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
7、解析】分析：将两个函数作差，得到函数，再求此函数的最小值，即可得到结论.详解：设函数，令，函数在上为单调减函数；令，函数在上为单调增函数，时，函数取得最小值为.故所求|MN|最小值即为函数y的最小值：.故选：A.点睛：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值.二、填空题13. 函数在的最大值为_【答案】【解析】由，当时，所以函数在单调递增，故.14. 曲线yx32x1在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程.【详解】由，得，在点
8、处的切线的斜率为，又，所以所求切线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.15. 如图是函数的大致图象，则等于_.【答案】【解析】【分析】根据图象知是两个极值点，所以是 的两个根，求出，利用韦达定理，即可求出【详解】根据图象知的根为 ， ，解得： 令 ，是 的两个根， ， ， 【点睛】本题主要考查了函数的极值与导函数的关系，涉及韦达定理和函数解析式的求解，属于基础题.16. 观察下列等式：按此规律，第个等式可为_【答案】(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)【解析】【详解】试题分析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含
9、一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为135（2n-1）所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=135（2n-1）故答案为三、解答题17. 已知复数，当实数取什么值时，（1）复数是虚数；（2）复数是纯虚数.【答案】(1) 且；(2) 【解析】【分析】根据已知复数的代数式形式，结合虚数的条件：虚部不等
10、于0；纯虚数的条件：实部为0同时虚部不为0，列方程求的值即可【详解】(1) 复数是虚数，知：，解得且(2) 复数是纯虚数，知：，解得【点睛】本题考查了复数的分类，依据复数的代数形式，结合虚数、纯虚数的成立条件列方程求参数值18. 求下列定积分的值：（1）；（2）.【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】（1）利用定积分基本定理求出的原函数，再积分即可；（2）利用定积分基本定理求出 的原函数，再积分即可.【详解】（1） （2）【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解体的关键在于掌握微积分基本定理，属于基础题.19. 用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明
11、即可.【详解】证明：当时，左边，右边，等式成立；假 设 当 时等式成立，即.那么，即当时等式也成立.由知，等式对任何都成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.20. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的图象经过点，又，再由的图象经过点，；（2）令，或单调递增区间为，.【详解】（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点，得，得，.（2），或，单调递增区间为，.【点晴】本题考查函数的解析式，函数的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、运算求
12、解能力，属于较中档型.21. 已知函数，其中为实数.（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用，求得，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值.【详解】（1）由，则（2）因为，则，解得，所以，当，解得，减区间为，当，解得或，增区间为，所以，综上所述，【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题.22. 已知函数，（1）若函数在处取得极值，求实数，的值；（2）若，且函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），由在处取得极值，可得，解出即可（2）先求出的解析式，然后研究在的单调性，根据在上恰有两个零点，建立不等关系 ，解之即可.【详解】（1） ， 函数在处取得极值，则 ，解得 ，经检验，当时，函数在处取得极值.（2）若，令，得 令，得 ，的极大值， 函数在上恰有两个零点 即 ，解得 ，【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，属于中档题.