1、 (2015课标，2，易)sin 20cos 10cos 160sin 10()A 32B.32C12D.12【答案】D 原式sin 20 cos 10cos 20 sin 10sin 3012.1(2013重庆，9，易)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D2 21【答案】C 4cos 50tan 404sin 40sin 40cos 404cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin（12040）sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故选 C.2(20
2、12重庆，5，易)设 tan，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()的值为()A3 B1 C1 D3【答案】A 由根与系数关系知tan tan 3，tan tan 2，而 tan()tan tan 1tan tan 3123，故选 A.3(2012四川，4，易)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使AE1，连接 EC，ED，则 sinCED()A.3 1010B.1010C.510D.515【答案】B 方法一：由题意可得 sinAEDcosAED 22，sinAEC11222 55，cosAEC212222 55，sinCEDsin(AEDAEC)22 2
3、55 22 55 1010.方法二：在 RtEAD 和 RtEBC 中，易知 ED 2，EC 5，在DEC中，由余弦定理得 cosCEDED2EC2CD22EDEC 2512 2 53 1010.sinCED 1010，故选 B.4(2013四川，13，易)设 sin 2sin，2，则 tan 2的值是_【解析】方法一：sin 2sin 2sin cos sin，2，sin 0，cos 12，则 sin 32，tan 3，而 tan 2 2tan 1tan22 313 3.方法二：同方法一，得 cos 12，又 2，则 23.tan 2tan43 3.【答案】35(2013课标，15，中)设当
4、 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _【解析】由辅助角公式得 f(x)555 sin x2 55 cos x 5sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55，由 x 时，f(x)取得最大值得 sin()1，2k2，kZ，即 2 2k，cos cos2 sin 2 55.【答案】2 55 6(2013课标，15，中)设 为第二象限角，若 tan4 12，则 sin cos _【解析】tan tan4 4 12111213，sin 13cos，将其代入 sin2cos21 得109 cos21，cos2 910，易知 cos 0，cos 310 10，si
5、n 1010，故 sin cos 105.【答案】105 7(2014江西，16，12 分，易)已知函数 f(x)sin(x)acos(x2)，其中 aR，2，2.(1)若 a 2，4 时，求 f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若 f2 0，f()1，求 a，的值解：(1)f(x)sinx4 2cosx2 22(sin xcos x)2sin x 22 cos x 22 sin x sin4 x，因为 x0，所以4 x34，4.故 f(x)在0，上的最大值为 22，最小值为1.(2)由f2 0，f（）1 得cos（12asin）0，2asin2sin a1，由 2，2 知 cos 0
6、，解得a1，6.考向 三角函数式的化简与求值1两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin；(S)sin()sin cos cos sin.(S)cos()cos cos sin sin；(C)cos()cos cos sin sin.(C)tan()tan tan 1tan tan；(T)tan()tan tan 1tan tan.(T)2二倍角公式sin 22sin cos；(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2)tan 2 2tan 1tan2.(T2)3公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan tan tan()(1tan
7、tan)；tan tan tan()(1tan tan)(2)升幂公式1cos 2cos22；1cos 2sin22.(3)降幂公式sin21cos 22；cos21cos 22.(4)其他常用变形sin 22sin cos sin2cos2 2tan 1tan2；cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2；1sin sin2 cos22；tan2 sin 1cos 1cos sin.4辅助角公式asin bcos a2b2sin()，其中 cos aa2b2，sin ba2b2.5角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2()()，2()()，()()，4 4 3 3.
8、(2)互余与互补关系例如，4 34 ，3 6 2.(3)非特殊角转化为特殊角例如，154530，754530.(1)(2013浙江，6)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2()A.43B.34C34D43(2)(2014课标，8)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则()A32B32C22D22(3)(2014广东，16，12 分)已知函数 f(x)Asinx4，xR，且 f512 32.求 A 的值；若 f()f()32，0，2，求 f34 .【解析】(1)(sin 2cos)252，展开得 3cos24sin cos 32，再由二倍角公式得32cos 22si
9、n 20，故 tan 2sin 2cos 232234，故选 C.(2)由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin，sin()cos sin2 .0，2，0，2，2，2，2 0，2，由 sin()sin2 ，得 2，22，故选 C.(3)f512 Asin512 4 Asin23 32 A32，A 3.f()f()3sin4 3sin4 3sin cos4 cos sin43sin（）cos4 cos（）sin4 2 3cos sin4 6cos 32.cos 64，又 0，2，sin 104.f34 3sin()3sin 3
10、04.【点拨】解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是由 f512的值直接求出 A 的值；化简 f()f()32可得 cos 的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得 sin，再化简 f34 可得答案 1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通
11、分”等2三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”(2014江苏，15，14 分)已知 2，sin 55.(1)求 s
12、in4 的值；(2)求 cos56 2 的值解：(1)因为 2，sin 55，所以 cos 1sin2 2 55.故 sin4 sin4 cos cos4 sin 22 2 55 22 55 1010.(2)由(1)知 sin 22sin cos 2 55 2 5545，cos 212sin21255235，所以 cos56 2 cos56 cos 2sin56 sin 2 32 351245 43 310.1(2015河南许昌一模，5)已知 sin 213，则 cos24 等于()A.13B13C.23D23【答案】C cos24 1cos2221sin 2223.2(2015安徽阜阳期末，
13、7)化简cos 40cos 25 1sin 40()A1 B.3C.2D2【答案】C 原式cos220sin220cos 25 sin2202sin 20cos 20cos220cos220sin220cos 25（cos 20sin 20）2sin 65cos 25 2cos 25cos 25 2.3(2014江西新余三模，6)若 4，且 3cos 24sin4 ，则sin 2的值为()A.79B19C79D.19【答案】B 由已知得 3(cos2sin2)2 2(cos sin)，4，cossin 0，3(cos sin)2 2，cos sin 2 23，1sin 289，sin 219.
14、4(2015河北邯郸一模，9)已知 为第二象限角，sin()2425，则 cos2的值为()A.35B.45C35D45【答案】C 为第二象限角，2k2 2k，kZ，即 k4 2 k2，kZ，又 sin()2425，sin 2425，cos 725，cos2 1cos 235.故选 C.5(2015山西运城质检，7)已知向量 asin6，1，b(4，4cos 3)，若 ab，则 sin43()A 34B14C.34D.14【答案】B ab，ab4sin6 4cos 32 3sin 6cos 34 3sin3 30，sin3 14.sin43sin3 14.6(2014湖北鄂州期末，12)3ta
15、n 123（4cos2122）sin 12_.【解析】原式3sin 12cos 1232（2cos2121）sin 12 2 312sin 12 32 cos 12cos 122cos 24sin 12 2 3sin（48）2cos 24sin 12cos 12 2 3sin 48sin 24cos 242 3sin 4812sin 484 3.【答案】4 37(2015河南商丘一模，14)已知 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则sin4sin 2cos 21_【解析】0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos)(sin cos)0，2sin
16、 3cos，又 sin2cos21，cos 213，sin 313，sin4sin 2cos 21 22（sin cos）（sin cos）2（cos2sin2）268.【答案】2688(2015山东东营二模，16，12 分)已知向量 a(sin，2)与 b(1，cos)互相垂直，其中 0，2.(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos()3 5cos，02，求 cos 的值解：(1)ab，absin 2cos 0，即 sin 2cos.又sin2cos21，4cos2cos21，即 cos215，sin245.又0，2，sin 2 55，cos 55.(2)5cos()5(cos
17、 cos sin sin)5cos 2 5sin 3 5cos，cos sin，cos2sin21cos2，即 cos212.又00，所以 A0，4.于是 sin Asin Csin Asin2 2A sin Acos 2A2sin2Asin A1 2sin A14298.因为 0A4，所以 0sin A 22，因此 22 2sin A1429898.由此可知 sin Asin C 的取值范围是22，98.1(2014江西，4，易)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()A3 B.9 32C.3 32D3 3【答案】C c2
18、(ab)26，即 c2a2b22ab6.C3，由余弦定理得 c2a2b2ab，由和得 ab6，SABC12absin C126 32 3 32，故选 C.2(2014课标，4，易)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A5 B.5C2 D1【答案】B 由三角形面积公式可知，S12ABBCsin B12.又AB1，BC 2，sin B 22，B4 或 B34.由余弦定理可知，AC2AB2BC22ABBCcos B当 B4 时，得 AC1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当 B34 时，得到 AC 5，故选 B.3(2014广东，12，易)在ABC 中，角 A，B，C
19、 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos Cccos B2b，则ab_【解析】由余弦定理可得 bcos Cccos Bba2b2c22abca2c2b22ac2a22a a，所以 a2b，所以ab2.【答案】24(2013福建，13，易)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 23，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_【解析】cosBADcosBAC2 sinBAC2 23.故在ABD 中，由余弦定理知 BD2AB2AD22ABADcosBAD3，故 BD 3.【答案】3 5(2014天津，12，易)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，
20、b，c.已知 bc14a，2sin B3sin C，则 cos A 的值为_【解析】由 2sin B3sin C 得 2b3c，即 b32c，代入 bc14a，整理得a2c，故 cos Ab2c2a22bc94c2c24c2232cc14.【答案】146(2014课标，16，中)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_【解析】a2，(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，(ab)(sin Asin B)(cb)sin C.由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2b
21、c.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12，A60且 b2c24bc，b2c24bc2bc4，当且仅当 bc 时等号成立,bc4，SABC12bcsin A 3，ABC 面积的最大值为 3.【答案】37(2014陕西，16，12 分，中)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.(1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值解：(1)证明：a，b，c 成等差数列，ac2b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2s
22、in(AC)(2)a，b，c 成等比数列，b2ac.由余弦定理得 cos Ba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，当且仅当 ac 时等号成立 cos B 的最小值为12.8(2014安徽，16，12 分，中)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B.(1)求 a 的值；(2)求 sinA4 的值解：(1)因为 A2B，所以 sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a2ba2c2b22ac.因为 b3，c1，所以 a212，所以 a2 3.(2)由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc9112613.由于 0
23、A，所以 sin A1cos2A1192 23.故 sinA4 sin Acos4 cos Asin4 2 23 22 13 22 4 26.考向 1 利用正、余弦定理解三角形1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A bsin Bcsin C2R(其中 R 是ABC 外接圆的半径)a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin
24、 Ccsin A；abcsin Asin Bsin C2Rcos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22ac；cos Ca2b2c22ab2利用正、余弦定理解三角形(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况在ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab 解的个数一解两解一解一解 上表中 A 为锐角时，absin A，无解A 为钝角或直角时，ab，a0，sin A1，即 A2，故选 B.(2)由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即
25、a2b2c2bc，由余弦定理得 a2b2c22bccos A，故 cos A12，又 0A，所以 A23.由得 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又 sin Bsin C1，得 sin Bsin C12.因为 0B2，0C2，故 BC6，所以ABC 是等腰的钝角三角形【点拨】解题(1)的关键是利用正弦定理进行边角互化，将已知式子转化为角的关系；解题(2)的思路是利用正弦定理将关系式转化为关于边的关系，再用余弦定理求角；解题时注意应用的结论作为条件并结合正弦定理，求出角的正弦值，进而求角判断三角形形状 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理
26、把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解(2012上海，16)在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【答案】C sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得 a2b2c2，cos C0，得 C 为钝角，故选 C.考向 3 利
27、用正、余弦定理求有关三角形的面积三角形的面积公式设ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S.(1)S12ah(h 为 BC 边上的高)；(2)S12absin C12bcsin A12acsin B；(3)S2R2sin Asin Bsin C(R 为ABC 外接圆半径)；(4)Sabc4R；(5)S p（pa）（pb）（pc）p12（abc）；(6)Spr(p 同(5)，r 为ABC 内切圆的半径)(2014浙江，18，14 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sin Acos A 3s
28、in Bcos B.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A45，求ABC 的面积【思路导引】(1)应用降幂公式化为二倍角，再进行三角恒等变换，得到角 A，B 的关系式，从而求角 C；(2)应用正弦定理求出 a 的值，再用三角函数的两角和的公式求得 sin B，最后求出面积【解析】(1)由题意得1cos 2A21cos 2B2 32 sin 2A 32 sin 2B，即 32 sin 2A12cos 2A 32 sin 2B12cos 2B，sin2A6 sin2B6.由 ab，得 AB，又 AB(0，)，得 2A6 2B6，即 AB23，所以 C3.(2)由 c 3，sin A45，as
29、in Acsin C，得 a85.由 ac，得 AC，从而 cos A35，故 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C 43 310，所以ABC 的面积为 S12acsin B8 31825.【点拨】解题(1)时注意对角的范围的判断；解题(2)时注意对角大小的比较以便得到 cos A 的符号为正 与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化(2013湖北
30、，17，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是a，b，c.已知 cos 2A3cos(BC)1.(1)求角 A 的大小；(2)若ABC 的面积 S5 3，b5，求 sin Bsin C 的值解：(1)由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A12或 cos A2(舍去)因为 0A，所以 A3.(2)由 S12bcsin A12bc 32 34 bc5 3，得 bc20.又 b5，所以 c4.由余弦定理得 a2b2c22bccos A25162021，故 a 21.又由正弦定理得 sin Bsin
31、 Cbasin Acasin Abca2sin2A20213457.考向 4 解三角形在实际问题中的应用1常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的正北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角，方位角的范围是(0，360)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度北偏东m 南偏西n 坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为 i，则 i
32、hltan 坡度坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比(2013江苏，18，16 分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.(1)求索道 AB 的长；(2)问乙
33、出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【思路导引】(1)利用正弦定理来解；(2)利用余弦定理构造函数，然后再求最值；(3)根据速度、路程、时间三者之间的关系求范围【解析】(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A 513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 513351213456365.由 ABsin C ACsin B，得 AB ACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以
34、索道 AB 的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)因为 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由 BCsin A ACsin B，得 BC ACsin Bsin A1 2606365 513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意
35、得3500v 71050 3，解得1 25043 v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内1.解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解2解三角形应用题的一般步骤(2014浙江，17)如图，某人在垂直于水平
36、地面 ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值是_(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)【解析】如图，过点 P 作 PDBC，垂足为 D.平面 MCB平面 ABC，且平面 MCB平面 ABCBC，PD平面 ABC.连接 AD，PAD 为由点 A 观察点 P 的仰角.设 CDx，BCM30，PD 33 x.在 RtABC 中，AB15，AC25，sinACB152535，cosACB
37、45.由余弦定理得 AD x22522x25cosACB x240 x625.tan 33 xx240 x625 33140 x 625x2 3325x 452 925，当25x 450，即 x1254 时，tan 最大，最大值为5 39.【答案】5 391(2015山西朔州一模，6)若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C 由于 sin Asin Bsin C51113，结合正弦定理可知，abc51113，不妨令 a5，b11，c13，由于 cos C
38、a2b2c22ab2512116925110，m 33.【答案】33 9(2015河北秦皇岛一模，17，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 对边分别是 a，b，c，满足 2ABACa2(bc)2.(1)求角 A 的大小；(2)求 2 3cos2C2sin43 B 的最大值，并求取得最大值时角 B，C 的大小解：(1)由已知得 2bccos Aa2(bc)2，由余弦定理得 a2b2c22bccos A，得 4bccos A2bc，cos A12，0A，A23.(2)A23，B3 C，0C3.2 3cos2C2sin43 B 2 31cos C2sin3 B 32sinC3，0C3，3 C3
39、23，当 C3 2 时，2 3cos2C2sin43 B 取最大值 32，此时 BC6.10(2015福建三明模拟，17，13 分)已知函数 f(x)cos2x2 3sin xcos xsin2x.(1)求 f(x)的最小正周期和值域；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 fA2 2 且 a2bc，试判断ABC 的形状解：(1)f(x)cos2x2 3sin xcos xsin2x 3sin 2xcos 2x2sin2x6，所以 T，f(x)2，2(2)因为 fA2 2sinA6 2，所以 sinA6 1.因为 0A，所以 A6 2，所以 A3.由 a2b2c22
40、bccos A 及 a2bc，得(bc)20，所以 bc，所以 BC3.所以ABC 为等边三角形 11(2015安徽八校联考，18，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 q(2a，1)，p(2bc，cos C)，且 pq.(1)求 sin A 的值；(2)求三角函数式2cos 2C1tan C 1 的取值范围解：(1)pq，2acos C2bc，根据正弦定理，得 2sin Acos C2sin Bsin C.又ABC，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，12sin Ccos Asin C.0C，sin C0，cos A12.又0
41、A，A3，sin A 32.(2)2cos 2C1tan C 112（cos2Csin2C）1sin Ccos C 12cos2C2sin Ccos C sin 2Ccos 2C 2sin2C4，0C23，4 2C4 1312，22 sin2C4 1，1b，则B()A.6B.3C.23D.56【答案】A 由正弦定理得 sin B(sin Acos Csin Ccos A)12sin B，即 sin Bsin(AC)12sin B，因为 sin B0，sin(AC)sin B，所以 sin B12，所以 B6 或56，又因为 ab，所以B6，故选 A.7(2015湖南益阳质检，7)已知 cos
42、17，cos()1314，且 02，则 等于()A.4B.6C.3D.512【答案】C 02，2 0，02，sin 4 37，sin()3 314.cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，3.8(2013天津，6)在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，则 sinBAC()A.1010B.105C.3 1010D.55【答案】C 在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosABC(2)2322 23 22 5，解得 AC 5.再由正弦定理得 sin BACBCsin ABCAC3 225 3 1010，故选 C.9(20
43、15福建泉州一模，6)若 sin3 14，则 cos3 2()A78B14C.14D.78【答案】A cos2 3 sin3 14，即 cos6 14，cos3 2 2cos26 12 116178，故选 A.10(2011天津，6)如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2AB 3BD，BC2BD，则 sin C 的值为()A.33B.36C.63D.66【答案】D 设 BD1，则 ABAD 32，BC2.在ABD 中，由余弦定理得 cos A13，所以 sin A2 23，在ABC 中，由正弦定理 ABsin C BCsin A，得sin C 66，故选 D.11(201
44、4四川成都五校联考，5)已知锐角满足 cos 2cos4 ，则 sin 2等于()A.12B12C.22D 22【答案】A 0，2，2(0，)，4 4，4.又 cos 2cos4 ，24 或 24 0，12或4(舍)，sin 2sin6 12，故选 A.12(2014江西南昌三模，8)设0，2，则 sin3cos cos3sin 的最小值为()A.2764B.3 25C.5 36D1【答案】D sin3cos cos3sin sin4cos4sin cos（sin2cos2）22sin2cos2sin cos 1sin cos 2sin cos.令 sin cos t，则 t12sin 2.0
45、，2，t0，12.令 g(t)1t2t，g(t)在0，12 上是减函数，当 t12时，g(t)min211，故选 D.二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13(2012北京，11)在ABC 中，若 a2，bc7，cos B14，则 b_【解析】由余弦定理 b2a2c22accos B 得 b222(7b)222(7b)14，整理得 15b60，即 b4.【答案】414(2014福建，12)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC的面积等于_【解析】由 BCsin A ACsin B，得 sin BACBCsin A 42 3 32 1，B90，故 C30，SABC
46、12ACBCsin C1242 3122 3.【答案】2 315(2011上海，6)在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离是_千米【解析】如图，C180607545.由正弦定理 ACsin B ABsin C 得 ACABsin Bsin C23222 6(千米).【答案】616(2012江苏，11)设 为锐角，若 cos6 45，则 sin212 的值为_【解析】02，6 6 23.又 cos6 45，sin6 1cos26 35，sin26 2sin6 cos6 235452425，cos262cos26 1 24521 725
47、，sin212 sin26 4 sin26cos4 cos26sin4 2425 22 725 22 17 250.【答案】17 250 三、解答题(共 6 小题，共 74 分)17(12 分)(2014四川，16)已知函数 f(x)sin3x4.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 是第二象限角，f3 45cos4 cos 2，求 cos sin 的值解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为2 2k，2 2k，kZ.由2 2k3x4 2 2k，kZ，得4 2k3 x122k3，kZ.所以，函数 f(x)的单调递增区间为4 2k3，122k3，kZ.(2)由已知，有 sin4
48、45cos4(cos2sin2)，所以 sin cos4 cos sin4 45cos cos4 sin sin4(cos2sin2)即 sin cos 45(cos sin)2(sin cos)当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，知 34 2k，kZ.此时，cos sin 2.当 sin cos 0 时，有(cos sin)254.由 是第二象限角，知 cos sin 0.(1)求函数 yf(x)的值域；(2)若 f(x)在区间32，2 上为增函数，求 的最大值解：(1)f(x)432 cos x12sin x sin xcos 2x 2 3sin xcos x2sin2xcos
49、2x 3sin 2x1，1sin 2x1，函数 yf(x)的值域为1 3，1 3(2)ysin x 在每个闭区间2k2，2k2(kZ)上为增函数，f(x)3sin 2x1(0)在每个闭区间k 4，k 4(kZ)上为增函数 依题意知32，2 k 4，k 4 对某个 kZ 成立，此时必有 k0.32 4，2 4，解得 16，故 的最大值为16.20(12 分)(2013四川，17)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos2AB2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35.(1)求 cos A 的值；(2)若 a4 2，b5，求向量BA在BC方向上的投影解：(1
50、)由 2cos2AB2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35，得 cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B35，即 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B35.则 cos(ABB)35，即 cos A35.(2)由 cos A35，0Ab，则 AB，故 B4.由余弦定理得 a2b2c22bccos A，即(4 2)252c225c35，解得 c1 或 c7(舍去)故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B 22.21(12 分)(2015辽宁沈阳一模，17)如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测
51、量船于水面 A 处测得 B点和 D 点仰角分别为 75，30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离(计算结果精确到 0.01 km，21.414，62.449)解：在ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CDAC0.1，又BCD180606060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA.在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，即 ABACsin 60sin 15，又 sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45 3
52、2 22 12 22 6 24，所以 ABACsin 60sin 15 3 2 620，因此，BD3 2 6200.33(km)故 B，D 的距离约为 0.33 km.22(14 分)(2015山东滨州一模，16)已知函数 f(x)2cos2xsin2x76.(1)求函数 f(x)的最大值，并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f(A)32，bc2，求实数 a 的最小值解：(1)f(x)2cos2xsin2x76(1cos 2x)sin 2xcos 76 cos 2xsin76 1 32 sin 2x12cos 2x 1sin2x6.函数 f(x)的最大值为 2.要使 f(x)取最大值，则 sin2x6 1，2x6 2k2(kZ)，解得 xk6，kZ.故 f(x)取最大值时 x 的取值集合为 x|xk6，kZ.(2)由题意知，f(A)sin2A6 132，化简得 sin2A6 12.A(0，)，2A6 6，136，2A6 56，A3.在ABC 中，根据余弦定理，得 a2b2c22bccos3(bc)23bc.由 bc2，知 bcbc221，即 a21.当 bc1 时，实数 a 的最小值为 1.
