1、甘肃省庆阳市镇原中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题1. 若，则（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系计算得到答案.【详解】因为，所以.故选：.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，属于简单题.2. 为得到的图象，只需要将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D考点：三角函数的图像变换3. 函数的定义域是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的解析式即：，函数有意
2、义，则：，解得：，据此可得函数的定义域是.本题选择D选项.4. 已知为等边三角形，设，满足，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量，再根据向量的数量积运算，建立关于的方程，可得选项.【详解】，.故选：A.5. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】直接利用概率相加得到答案.【详解】 故答案选B【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.6. 在中，已知，于，为的中点，若，则，的值分别是（ ）A. ，
3、B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由平面向量线性运算法则结合图形可得，再由平面向量基本定理即可得解.【详解】因为，所以，所以，又因为为的中点，所以，故，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7. 设函数满足，当时，则（ ）A. B. C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合特殊角的三角函数值、诱导公式逐步计算即可得解.【详解】因为，当时，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了运算求解能力，属于基础题.8. 已知非零向量与满足且，则的形状是（ ）A. 三边均不相等的三角形B. 等腰直角
4、三角形C 等边三角形D. 以上均有可能【答案】C【解析】【分析】和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。【详解】由题的，平分线所在的直线与垂直，为等腰三角形.又，故为等边三角形.故选：C【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。9. 已知向量，若与共线，则的值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的坐标表示即可得解.【详解】由已知得，又因为与共线，所以有，解得.故选：D.【点睛】本题考查了平面
5、向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.10. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由几何概型的概率公式计算即可得解.【详解】由题意一昼夜可以进港的时间为3个小时，而一昼夜有24个小时，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查了几何概型的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.11. 若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）A. 的最小正周期是B. 的值域为C.
6、初相D. 在上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据函数的性质求出，再根据得到函数的最小正周期、值域、单调性、初相，从而可得答案.【详解】由题意得，且函数的最小正周期为，故.代入，得，又，所以.所以.故函数的值域为，初相为.故A，B，C不正确，当时，而在上单调递增，所以在上单调递增，故正确.故选：D.【点睛】本题考查了由函数的性质求正弦型函数解析式中的参数，考查了正弦型函数的周期、值域、单调性，属于中档题.12. 在中，是的中点，是上一点，且，则的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 所以 ,选A.二、填空题13. 函数在上的值域为_.【答案】【解析】【分析】用辅助角公式化简，
7、结合角的范围和正弦函数的性质，即可求出值域.【详解】解：.又，所以，所以，所以.所以函数在上的值域为.故答案为：【点睛】本题考查求三角函数的值域，应用两角和与差公式化简是解题的关键，属于基础题.14. 已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_.【答案】或【解析】分析】将已知等式移项，可得，再两边平方，运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，化简整理，解方程即可得到所求值【详解】由，可得，则.由为单位向量，得，则，即，解得或.【点睛】本题重点考查了数量积的定义和性质、单位向量的概念和性质运用等知识，属于中档题15. 已知O为坐标原点，在x轴上求一点P，使有最小值，则P点的坐标为
8、_【答案】【解析】【分析】设点的坐标，计算并把结果利用二次函数的性质，配方求出其取最大值时的条件【详解】设，所以，当时， 有最小值，此时故答案为：【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，二次函数取最大值的条件属于基础题.16. 给出下列命题：函数是偶函数；方程是函数的图象的一条对称轴方程；在锐角中，；若，是第一象限角，且，则；设是关于的方程的两根，则；其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】对于选项：利用诱导公式得出即可判断；对于选项：直接把代入验证即可；对于选项：利用在锐角中，利用两角和的余弦公式判断即可；对于选项：举反例当，判断即可；对于选项：利用已知条件得到，即可判断选项.【
9、详解】函数是偶函数，故选项正确；方程是函数的图象的一条对称轴方程，因为，故选项正确.在锐角中，,即，故选项正确.若、是第一象限角，且，则，当，满足，故选项不正确.是关于的方程的两根，即，故选项正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数函数，两角和与差的公式，诱导公式和三角函数的对称性，考查三角函数公式的综合应用.属于中档题.三、解答题17. 已知，且，求的值【答案】【解析】【详解】，、，又，又，.18. 求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】利用正切的两角和差公式化简求值即可.【详解】（1）（2）.【点睛】本题考查两角和差的正切公式的应用，属于简单题.19. 已知，
10、.（1）求的单调增区间；（2）若，求当为何值时，的最小值为.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出，解不等式，即得函数的单调增区间；（2）由题得，再设，换元得到新函数，利用二次函数的图象和性质求解.【详解】（1）令，所以，函数的递增区间为，.（2）,所以，令则，且所以，对称轴，当，即时，.由得所以因为所以此时无解.当即时由得.当即时，由得所以因为所以此时无解.综上所述，当，的最小值为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的单调区间的求法，考查二次函数在区间上的最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二
11、甲班选出了1名女同学、2名男同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学.（1）若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；（2）若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列举出从这6名同学中抽出2人的所有情况,从中找出高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的情况，由古典概型概率公式直接求解即可.（2）列举出从高二甲班和乙班各选1名同学的所有情况，从中找出选出的2名同学性别相同的情况，由古典概型概率公式直接求解即可.【
12、详解】（1）设选出的3名高二甲班同学为，其中为女同学，为男同学，选出的3名高二乙班同学为，其中为男同学，为女同学.从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有，共15种.其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率.（2）高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为，共9种,选出的2名同学性别相同的有，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，考查分析问题的能力，属于基础题.21. 已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求（1）函数的解析式；（2）求出函数的单
13、调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，对称中心为（）；（3）.【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质先求出最值和周期，最后代入特殊值计算的值即可；（2）根据正弦函数的性质，整体代入求单调区间，对称轴，对称中心，解出即可；（3）求出整体的范围，代入正弦型函数中计算，可求出值域.【详解】(1)由题设知，周期，由得.所以.又因为时，取得最大值3，即，解得，又，所以，所以.(2)由，得.所以函数的单调递增区间为.由，得，.对称轴方程为，.由，得（）.所以，该函数的对称中心为（）.(3)因为，所以，则，所以.所以值域为：.所以函数
14、的值域为.【点睛】本题考查由三角函数特殊点的取值求三角函数解析式，考查求正弦型函数的单调区间，对称轴，对称中心以及值域，数学正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.22. 如图是函数的部分图象.（1）求函数的表达式；（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据图像先确定A,再确定，代入一个特殊点再确定（2）根据（1）的结果结合图像即可解决（3）
15、根据（1）的结果以及三角函数的变换求出即可解决【详解】解：（）由图可知：，即，又由图可知：是五点作图法中的第二点，即 （）因为的周期为，在内恰有个周期.当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ； 当时，方程在内有个实根为，故所有实数根之和为 ； 当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ； 综上：当时，方程所有实数根之和为 ；当时，方程所有实数根之和为 ； （），函数的图象如图所示：则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，所以【点睛】本题主要考查了正弦函数的变换，根据图像确定函数，方程与函数在解决方程问题时往往转化成两个函数图像交点的问题解决本题属于中等题