1、第五单元 平面向量与复数 第一节 平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及其表示法 名称 定义 表示法 向量 既有 又有 的量;向量的大小叫做向量 的 (或），向量_模_ 零向量 长度为 的向量;其方向是任意的 记作 ，单位向量 长度等于 个单位长度的向量 常用 表示 大小方向长度模00aa1e平行向量方向或的非零向量a与b共线可记为共线向量向量又叫做共线向量0与任一向量，相等向量长度且方向_的向量a与b相等记作相反向量长度且方向_的向量(1)a的相反向量记作,a+0=0+a=aa+(-a)=(-a)+a=0(2)0的相反向量为_0相同相反平行相等相同abab共线相反相等a2.向
2、量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算法则 ,.(1)交换律:a+b=.(2)结合律:(a+b)+c=_减法 求两个向量差的运算 .a-b=.三角形平行四边形baa(bc)三角形a(b)数乘 求实数与向量a的积的运算(1)|a|=.(2)当0时,a与a的方向;当0时,a与a的方向;当a=0时，a=0;当=0时,a=.(a)=;(+)a=;(a+b)=.3.向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .ab|a|相同相反0()aaaba(a0)基础达标1.(必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OA
3、ED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中，与向量AE相等的向量是，与向量BF共线的向量是，与向量CF的模相等的向量是.解析：由向量的相关定义结合正方形的性质可知BOAOCODEBFBOCOAODOAEDE 2.(必修4P66习题6改编)已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0，则x=.5388ab解析：原式可变形为5x5a3x3b0，8x=-5a+3b，x=5388ab3.一辆汽车向西行驶了10千米，然后改变方向向南行驶了10千米，则该汽车两次位移的和为.西南方向10 千米 2解析：如图所示，所以，方向为西南方向ACABBC10 2AC 4.(2011如东中学考试)已知ABC，若点
4、M满足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC=.0 解析：由已知得3ABACAM3()30MAMBMCMAMAMBMAMCMAABACMAAM5.已知e1,e2是不共线向量，a=ke1+e2,b=e1+ke2,若ab,则k=.解析：ab，由向量共线等价条件得：ab(R)，即ke1e2(e1ke2)，(k)e1(1k)e20，又e1，e2不共线，由平面向量基本定理得k1.1经典例题题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题:两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;若|a|=|b|,则a=b;ABCD中,一定有AB=DC;若m=n,n=p,则m=p;若ab,bc,则ac.其中正确的序号
5、是.分析在正确理解有关概念的基础上，注意特殊的情况，是解决本题的关键解：若两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以不正确；|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；零向量与任一非零向量都平行，当b0时，a与c不一定平行，故不正确正确【例2】如图,D、E、F分别为ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.题型二平面向量的线性运算分析：在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢，即用，来分别表示待求的向量,AB BC AC,22,22()0,ADACCD ADABBDADACABCDBDBEBABCCFCA
6、CBADBECFACABBABCCACBAD同理所以故0BECF解析：变式2-1(2011南京师大附中期中考试)在如图所示的平面图形中，已知OA=a,OB=b,点A、B分别是线段CE、ED的中点.试用a,b表示CD.连结AB，则AB为CDE的中位线ba，2(ba)ABCD2AB解析：【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.题型三向量的共线问题分析：用向量法证明A、B、D三点共线，可以利用向量共线定理，得到(或等)，说明直线BD和AB平行或重合；因为有公共点B，所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线BDABADABBD
7、AB解：2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)5(ab)，.由向量共线定理得，又直线AB和BD有公共点B，所以A、B、D三点共线BCCDBD=BC+CDBD5ABBD AB变式3-1设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：2e1e2(e13e2)e14e2.若A、B、D三点共线，则，从而存在唯一实数，使，即2e1ke2(e14e2)，整理得(2)e1(k4)e2，e1、e2不共线，解得A、B、D三点共线时，k8.BD=CDCBAB BDABBD2040k 28k 链接高考(2010湖北)已知ABC和点M满足,若存在实数m使得成立，则m.知识准备：1.要知道点M满足,说明点M为ABC的重心；2.要知道三角形重心的性质，即重心为中线的一个三等分点；3.要知道三角形中线所在向量的性质:若AD为边BC上的中线，则.MA+MB+MC=0AB+AC=mAMMA+MB+MC=0AB+AC=2AD由知，点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则所以，故m=3.MA+MB+MC=02211AMAD=AB+ACAB+AC3323（）=（）AB+AC3AM解