1、专题能力提升练(一)函数一、选择题(每小题5分)1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ay2 015exBysin2 015xCyx2 015 Dylogx解析：令f(x)x2 015，由f(x)(x)2 015x2 015f(x)，得yx2 015为奇函数，又幂函数yx2 015为增函数，故yx2 015是减函数，故选C.答案：C2设a1.10.9，b0.91.1，clog1.10.9，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCbac Dac1，b0.91.1(0,1)，clog1.10.90，故cb0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为()A B.C
2、. D解析：通解：设x0，所以f(x)x2x，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x2，所以当x0时，f(x)x2x2，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为.故选B.答案：B4函数f(x)lnxx2的大致图象是()解析：易知函数f(x)的定义域为(0，)，f (x)x.当0x0；当x1时，f (x)0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)，故结合图象可知选B.答案：B5已知偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)x在x0,4上的解的个数是()A1 B
3、2C3 D4解析：由f(x1)f(x1)，知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的一个周期为2，又函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(1x)，即函数f(x)关于直线x1对称，在同一坐标系内作出函数yf(x)，yx的图象，由图象知在0,4内交点个数为4.选D.答案：D6设函数f(x)1xsinx在xx0处取得极值，则(1x)(1cos2x0)1的值为()A1 B0C2 D1解析：f (x0)sinx0x0cosx00x0cosx0sinx0，代入化简得(1x)(1cos2x0)1(1x)2cos2x012cos2x02sin2x01211.答案：D7已知l1，l2是曲线C：y的两条
4、互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为()A. B2C2 D4解析：设第一象限的切点坐标为，根据曲线的对称性，曲线在第三象限的切点坐标为.此时两条切线方程分别为yx，yx，两直线之间的距离d2，当且仅当t1时等号成立答案：C8定义在R上的函数f(x)的导函数为f (x)，已知f(x1)是偶函数，且(x1)f (x)0.若x12，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2) D不确定解析：由(x1)f (x)1时，f (x)0，函数单调递减当x0，函数单调递增因为函数f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(1x)，f(x)f(2x)，即函数f(x)图象的对称轴为x1.所以，
5、若1x1f(x2)；若x12x11，此时有f(x2)f(x2)综上，必有f(x1)f(x2)，选C.答案：C9已知函数f(x)x22cosx，若f (x)是f(x)的导函数，则函数f (x)在原点附近的图象大致是()解析：因为f (x)2x2sinx，f (x)22cosx0，所以函数f (x)在R上单调递增，故选A.答案：A10已知f(x)是定义在R上的函数，且函数f(x3)的图象关于直线x3对称，f(3)2 015，f(3)f(0)，且在区间(0，)上，f (x)同号，则不等式f(x22x)f(0)，所以函数f(x)在区间0，)上是单调递增的所以不等式f(x22x)2 015可化为f(|x
6、22x|)f(3)，得|x22x|3，解得1x0，所以f(f(2)f(22)log2222.答案：212已知函数f(x)|log2x|，正实数m，n满足mn，且f(m)f(n)，若f(x)在区间m2，n上的最大值为2，则nm_.解析：根据已知，结合函数f(x)|log2x|的图象知，0m1n，所以0m2m1.根据函数图象易知函数在xm2时取得最大值，所以f(m2)|log2m2|2，又0m0解得x1，令f (x)0，解得10在x(0，)上恒成立，所以函数g(x)在(0，)上是增函数，所以g(x)在区间2，e上的最大值g(x)maxg(e)lne1.答案：115已知函数f(x)axcosx，x，
7、若x1，x2，x1x2，0时，f(x)2ex(xa)23，f (x)2(exxa)因为yf(x)在x1处取得极值，所以f (1)0，即2(e1a)0，解得a1e，经验证满足题意，所以a1e.(2)由题意知yf(x)的图象上存在两点关于原点对称，即y2ex(xa)23(x0)图象上存在一点(x0，y0)(x00)，使得(x0，y0)在yx23axa23(x0)，则h(x).因为x0，所以当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)0.所以h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以h(x)h(1)2e，且x时，h(x)；x0时，h(x)，即h(x)的值域为2e，)所以当a2e时，方程a
8、在(0，)上有解所以当a2e时，yf(x)的图象上存在两点关于原点对称17已知函数f(x)alnx(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x|f(x)0b，c(其中b0)()当a0时，f (x)0时，令f (x)0，得x.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：xf (x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)由(1)知，当a0时，因为f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以在使x|f(x)0b，c，必需f0，即alnae.当ae时，falna22alnaa2a(a2lna)令g(x)x2lnx(xe)，则g(x)1(xe)当xe时，g(x)0，
9、所以g(x)在e，)上是增函数所以当ae时，g(a)a2lnag(e)e20.所以f0.因为1，f0，所以f(x)在上存在一个零点，不妨记为b，在上存在一个零点，不妨记为c.因为f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以x|f(x)0b，c综上所述，a的取值范围是(e，)因为b，c，所以b，c(0,1)18已知函数f(x)ex1x.(1)若存在x0，使aex1x0成立，求a的取值范围；(2)当x0时，f(x)(t1)x恒成立，求t的取值范围解：(1)由题知aex1x，即a0时，f (x)0，x0时，f (x)0.f(1)f，f(x)在上的最大值为，故a的取值范围是a0，g(x)为增函数，g(0)
10、0，从而当x0，g(x)0，即f(x)(t1)x恒成立若t1，则当x(0，lnt)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lnt)时，g(x)0，即f(x)1不符合题意，综上可得t的取值范围为(，119已知函数f(x)xlnx，g(x)x3x23.(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)如果对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)xlnx，f (x)lnx1，f(1)2，f (1)1，所以曲线yf(x)在x1处的切线
11、方程为yx3.(2)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM，考察函数g(x)x3x23，则g(x)3x22x3x，当x变化时，g (x)，g(x)的变化情况如下表：x02g(x)00g(x)3单调递减极小值单调递增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以满足条件的最大整数M4.(3)对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于：在区间上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，当x时，f(x)xlnx1恒成立，等价于axx2lnx恒成立，记h(x)xx2lnx
12、，h(x)12xlnxx，h(1)0，记m(x)12xlnxx，m(x)32lnx，由于x，m(x)32lnx0，x(1,2时，h(x)0，即函数h(x)xx2lnx在区间上单调递增，在区间(1,2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1.20(2016郴州模拟)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)若0x1x20时，在区间(0,1)上是减函数，0x1x2.21设函数f(x)alnxx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.()若a1，故当x时，f (x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f，所以不合题意()若a1，则f(1)1.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)