1、4.圆周运动目标导航 学习目标 1.知道什么是圆周运动,什么是匀速圆周运动。2.知道线速度的物理意义、定义式、矢量性和特点。3.知道角速度的物理意义、定义式和单位,了解转速和周期的意义。4.掌握线速度和角速度的关系,掌握角速度与转速、周期的关系。重点难点 重点:1.匀速圆周运动的线速度和角速度及其之间的关系。2.匀速圆周运动的特点。难点:1.对角速度概念的理解。2.对匀速圆周运动是变速曲线运动的理解。激趣诱思月亮绕地球运动,地球绕太阳运动,这两个运动都可看成是圆周运动,怎样比较这两个圆周运动的快慢?请看下面地球和月亮的对话。地球说:你怎么走得这么慢?我绕太阳运动 1 s 要走 29.79 km
2、,你绕我运动 1 s 才走 1.02 km!月亮说:不能这样说吧!你一年才绕一圈,我 27.3 d(天)就绕了一圈,到底谁转得慢?地球说的对?还是月亮说的对?月亮运动的轨道半径大约为 3.8105 km,地球运动的轨道半径大约为 1.5108 km,通过计算,验证在地球和月亮的对话中,地球说的速度是否正确,到底谁的线速度大?是否线速度大就说明物体转动得快?用角速度的定义来计算月亮和地球的角速度验证一下。简答:描述圆周运动快慢的物理量是线速度、角速度和周期,只用其中的一个物理量无法准确描述圆周运动的快慢。地球和月亮因为描述圆周运动的快慢的标准不同,所以地球和月亮的说法都是片面的。地球阐述的是线速
3、度,从线速度的定义式可以看出地球的线速度 v1=29.79 km/s,月亮的线速度为 1.02 km/s。而月亮阐述的依据是角速度,从角速度的定义式可以看出地球的角速度为1=2365243 600 rad/s,而月亮的角速度为 2=228243 600 rad/s。根据角速度和线速度的关系 v=r,也可解得 1=11=29.791031.51011rad/s=1.98610-7 rad/s,2=22=1.021033.8105 rad/s2.6810-3 rad/s。预习导引一、描述圆周运动的物理量1.线速度(1)物理意义:描述质点沿圆周运动(通过弧长)的快慢。(2)定义:质点沿圆弧通过的弧长
4、与所用时间的比值,叫作线速度。(3)公式:v=。(4)方向:质点在圆弧某点的线速度方向,沿圆弧该点的切线方向。2.匀速圆周运动物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,这种运动叫作匀速圆周运动。3.角速度(1)物理意义:描述质点绕圆心转动(扫过角度)的快慢。(2)定义:质点与圆心连线扫过的角度与所用时间的比值,叫作角速度。(3)公式:=。(4)单位:国际单位制中角度的单位是弧度,符号是 rad;角速度的单位是弧度每秒,符号是 rad/s 或 s-1。4.转速与周期(1)转速 n:转速是指物体单位时间转过的圈数,单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。(2)周期 T:做匀速圆周运动的物体
5、,转过一周所用的时间叫周期。(3)周期 T 与转速 n 的关系:T=1(式中 n 的单位为 r/s)预习交流 1若钟表的指针都做匀速圆周运动,秒针和分针的周期各是多少?角速度之比是多少?提示:秒针的周期 T 秒=1 min=60 s,分针的周期 T 分=1 h=3 600 s。由=2 得秒分=分秒=601。二、线速度与角速度的关系1.两者关系在圆周运动中,线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。2.关系式v=r。预习交流 2月亮绕地球运动,地球绕太阳运动,这两个运动都可看成是圆周运动,怎样比较这两个圆周运动的快慢?请看下面地球和月亮的“对话”。地球说:你怎么走得这么慢?我绕太阳运动 1 s 要
6、走 29.79 km,你绕我运动 1 s 才走 1.02 km。月亮说:不能这样说吧!你一年才绕太阳转一圈,我 27.3 天就能绕你转一圈,到底谁转得慢?请问:地球说得对,还是月亮说得对?提示:地球和月亮说的均是片面的,它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同。严格来说地球绕太阳运动的线速度比月亮绕地球运动的线速度大,地球运动得较快。而月亮转动的角速度比地球转动的角速度大,月球转动得较快。一、描述圆周运动的物理量及其关系知识精要描述匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期、频率、转速等,它们之间既有区别又有联系。1.区别 物理量项目 线速度 v 角速度 周期 T 转速 n 定义、意义 描述
7、做圆周运动的物体运动快慢的物理量 描述连接运动质点与圆心的半径转动快慢的物理量 物体沿圆周绕行一周所用的时间 物体单位时间内转过的圈数 矢量、标量 是矢量,方向和半径垂直,与圆弧相切 是矢量,有方向,中学阶段分顺时针和逆时针 标量 标量 2.各物理量之间的关系思考探究1.为什么要用线速度和角速度两个物理量描述圆周运动的快慢?答案:线速度与角速度都是描述圆周运动的质点运动快慢的物理量,线速度侧重于物体通过弧长快慢的程度;而角速度侧重于质点转过角度的快慢程度。它们都有一定的局限性,任何一个速度(v 或)都无法全面、准确地反映出做圆周运动的质点的运动状态。例如地球围绕太阳运动的线速度是 3104 m
8、/s,这个数值是较大的,但它的角速度却很小,其值为 210-7 rad/s。我们不能从它的线速度大就得出它做圆周运动快的结论。同样也不能从它的角速度小就得出它做圆周运动慢的结论。事实上是因为地球绕太阳做圆周运动的轨道半径很大,所以线速度较大,但由于一年才转一周,角速度很小。因此,为了全面、准确地描述质点做圆周运动的状态,必须同时用线速度和角速度进行描述。2.试推导匀速圆周运动的线速度和角速度之间的关系。答案:如果物体沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动,在时间 t 内通过的弧长是 s,半径转过的角度是,由数学知识知 s=r,于是有 v=r,即 v=r。上式表明:r 一定时,v 与 成正比;一定时
9、,v 与 r 成正比;v 一定时,与 r 成反比。3.试探究分析做匀速圆周运动的物体周期 T 与线速度 v 的大小关系。答案:由 v=r,=2 可得 v=2,也可由线速度定义式 v=,当t=T 时,s=2r,得出 v=2。典题例解【例 1】地球的半径为 R=6 400 km,试计算:(1)赤道上的物体随地球自转的角速度、线速度各是多少?(2)在纬度为 60的地面上,物体随地球自转的角速度、线速度各是多少?解析:地球绕地轴匀速转动,地球上的物体都做匀速圆周运动,但转动半径并不一致。(1)地球自转周期为一天,所以 T=243 600 s=86 400 s,转一周转过的角度为 2。据=2 有 7.2
10、710-5 rad/s。在赤道上物体的圆周运动半径为地球半径。据 v=2 有 v465 m/s(或用 v=R 求)。(2)在纬度=60的地方,物体随地球自转的角速度也为=7.2710-5 rad/s。如图所示,物体随地球做匀速圆周运动的圆心在O,而不是地心 O,设其半径为 R,则 R=Rcos 60=12R=3.2106 m。故 v=2 233 m/s。答案:(1)7.2710-5 rad/s 465 m/s(2)7.2710-5 rad/s 233 m/s迁移应用1.甲沿着半径为 R 的圆周跑道匀速跑步,乙沿着半径为 2R 的圆周跑道匀速跑步。在相同的时间内,甲、乙各自跑了一圈,他们的角速度
11、和线速度分别为 1、2 和 v1、v2,则()A.12,v1v2B.12,v1v2C.1=2,v1v1。答案:C2.做匀速圆周运动的物体,10 s 内沿半径为 20 m的圆周运动 100 m,试求物体做匀速圆周运动时:(1)线速度的大小;(2)角速度的大小;(3)周期的大小。解析:(1)依据线速度的定义式 v=可得v=10010 m/s=10 m/s。(2)依据 v=r 可得=1020 rad/s=0.5 rad/s。(3)由=2 可知 T=2=20.5 s=4 s。答案:(1)10 m/s(2)0.5 rad/s(3)4 s二、常见传动装置及其特点知识精要 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置
12、 A、B 两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B 两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B 两点分别是两个齿轮边缘上的点 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 特点 角速度、周期相同 线速度相同 线速度相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比:vAvB=rR 角速度与半径成反比:AB=rR。周期与半径成正比:TATB=Rr 角速度与半径成反比:AB=r2r1。周期与半径成正比:TATB=r1r2 思考探究1.利用 v=r 分析下面两种传动装置(如图)中 A、B、C 各点的线速度和角速度的变化情况,并总结这两种传动装置的特点。答案:(1)皮带传动装置(甲图):因
13、为皮带转动时,在相同的时间内,A、B 两点通过的弧长相等,所以这两点的线速度大小一样,即vA=vB。又 v=r,当 v 一定时,与 r 成反比,rArB,所以 ArC,所以 vAvC。共轴传动装置特点:同一转动轴上的各点角速度相等。2.如图所示,A 点和 B 点分别是两个齿轮边缘上的点,两个齿轮轮齿啮合。当齿轮转动时,它们的线速度、角速度、周期存在怎样的关系?答案:它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系:vA=vB,=12=12,=21=21。式中 n1、n2 分别表示两齿轮的齿数。典题例解【例 2】如图所示的传动装置中,B、C 两轮固定在一起绕同一轴转动,A、B 两轮用皮带传动,三轮半径
14、关系是 rA=rC=2rB,若皮带不打滑,求 A、B、C 轮边缘的 a、b、c 三点的角速度之比和线速度之比。解析:A、B 两轮通过皮带传动,皮带不打滑,则 A、B 两轮边缘的线速度大小相等,即 va=vb 或 vavb=11由 v=r 得 ab=rBrA=12B、C 两轮固定在一起绕同一轴转动,则 B、C 两轮的角速度相同,即 b=c 或 bc=11由 v=r 得 vbvc=rBrC=12由得 abc=122由得 vavbvc=112。答案:122 112迁移应用1.无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度,性能优于传统的挡位变速器,很多种高档汽车都应用了无级变速。如图所示是截锥式无级变速模
15、型示意图,两个锥轮之间有一个滚轮,主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮和从动轮之间的滚轮从左向右移动时,从动轮降低转速;滚轮从右向左移动时,从动轮增加转速。当滚轮位于主动轮直径 D1、从动轮直径 D2 的位置时,主动轮转速 n1、从动轮转速 n2 的关系是()A.12=12B.21=12C.21=1222D.21=12解析:传动中三轮边缘的线速度大小相等,由 v=2nr,得 n1D1=n2D2,所以21=12,故选项 B 正确。答案:B2.如图所示,A、B 两个齿轮的齿数分别是 z1、z2,各自固定在过 O1、O2 的轴上。其中过 O1 的轴与电动机相连接,此轴转速为
16、 n1,求:(1)B 齿轮的转速 n2;(2)A、B 两齿轮的半径之比;(3)在时间 t 内,A、B 两齿轮转过的角度之比,以及 B 齿轮外边缘上一点通过的路程。(设齿轮半径为 r2)解析:(1)齿轮的转速与齿数成反比,所以 B 齿轮的转速 n2=12n1。(2)齿轮 A 边缘的线速度 v1=1r1=2n1r1;齿轮 B 边缘的线速度v2=2r2=2n2r2,因两齿轮边缘上的点的线速度大小相等,即 v1=v2,所以 2n1r1=2n2r2,即两齿轮半径之比 r1r2=n2n1=z1z2。(3)在时间 t 内,A、B 转过的角度分别为1=1t=2n1t,2=2t=2n2t,转过的角度之比 12=
17、n1n2=z2z1。B 齿轮外边缘一点在时间 t 内通过的路程s2=v2t=2r2t=2n2r2t=21122。答案:(1)12n1(2)z1z2(3)z2z1 21122圆周运动的多解问题知识链接做匀速圆周运动的物体,经过周期的整数倍时间,其位置不变。由于周期性的存在,易引起运动中的时间、速度等存在多解性问题。案例探究如图所示,质点 A 从某一时刻开始在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动,出发点与圆心等高,与此同时位于圆心的质点 B 自由下落。已知圆周半径为 R,求质点 A 的角速度 满足什么条件时,才能使 A、B 相遇?解析:要使质点 A 和质点 B 相遇,则它们从开始运动到相遇经历的时
18、间应相等,即 tA=tB,考虑到圆周运动的周期性,质点 A 从开始运动到相遇经历的时间为 tA=34T+nT(n=0,1,2,3,)对于质点 B 由自由落体运动规律有 R=12 2得 tB=2由圆周运动的周期公式有 T=2解上述方程得=+34 2(n=0,1,2,3,)答案:=+34 2(n=0,1,2,3,)思悟升华匀速圆周运动的多解问题处理方法1.多解原因分析:匀速圆周运动具有周期性,使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生,这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时,必须把各种可能都考虑进去。2.处理方法分析:(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题,两个物体参与的两个运动虽然独立进行,但一定有联系点,其联系点一般是时间或位移等,抓住两运动的联系点是解题关键。(2)分析问题时可暂时不考虑周期性,表示出一个周期的情况,再根据运动的周期性,在转过的角度 上再加上 2n,具体 n 的取值应视情况而定。