1、幂函数A级基础巩固1若f(x)是幂函数，且满足4，则f()A4B4C D.解析：选D设f(x)x，则f(4)422，f(2)2.2422，2，f(x)x2，f，故选D.2(多选)已知幂函数f(x)x(m，nN*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是()Am，n是奇数时，f(x)是奇函数Bm是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数Cm是奇数，n是偶数时，f(x)是偶函数D01时，f(x)在(0，)上是减函数解析：选ABf(x)x，当m，n是奇数时，f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f(x)在x0时无意义，故
2、C中的结论错误；当01时，f(x)在(0，)上是增函数，故D中的结论错误故选A、B.3若幂函数yf(x)的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内()A为增函数 B为减函数C有最小值 D有最大值解析：选C设幂函数f(x)x，由f(2)4，得(2)4，所以2，即f(x)x2，所以函数f(x)在定义域内有最小值0.故选C.4如图所示，曲线C1和C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()Anm0 Bmnm0 Dmn0解析：选A由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m0，n0.由幂函数图象的特点知nm，故nm0.5已知当x0，1时，函数y(mx1)2的图象与ym的
3、图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0，12，) B(0，13，)C(0， 2，) D(0， 3，)解析：选B当01时，01，y(mx1)2在上单调递增，所以要与ym的图象有且仅有一个交点，需(m1)21m，即m3.综上所述，01时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象(图略)由图象可知1时，f(x)1D当0x1x2时，1时，f(x)1，故C正确；由函数图象(图略)，易知f(x)为“上凸函数”，故D正确故选A、C、D.13有四个幂函数：f(x)x1；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x.某同学研究了其
4、中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是y|yR，且y0；(3)在(，0)上单调递增如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是_(填序号)解析：对于函数，f(x)x1是一个奇函数，值域是y|yR，且y0，在(，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数，f(x)x2是一个偶函数，其值域是y|yR，且y0，在(，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断中函数不符合条件答案：14已知幂函数f(x)(2m26m5)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若函数yf(x)2(a1)x1在区间(2，3)上为单调函数，求实
5、数a的取值范围解：(1)由f(x)为幂函数知2m26m51，即m23m20，得m1或m2，当m1时，f(x)x2，是偶函数，符合题意；当m2时，f(x)x3，为奇函数，不合题意，舍去故f(x)x2.(2)由(1)得yx22(a1)x1，函数的对称轴为xa1，由题意知函数在区间(2，3)上为单调函数，a12或a13，相应解得a3或a4.故实数a的取值范围为(，34，)C级拓展探究15已知幂函数f(x)x (mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)mN*，m2mm(m1)为偶数令m2m2k，kN*，则f(x)，f(x)的定义域为0，)，且f(x)在0，)上为增函数(2)由题意可得22，m2m2，解得m1或m2(舍去)，f(x)x，由(1)知f(x)在定义域0，)上为增函数，f(2a)f(a1)等价于2aa10，解得1a，故实数a的取值范围为.6