1、2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1“a4”是“a216”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2已知点（2，1）在双曲线C：=1（ab0）的渐近线上，则C的离心率为（）AB2CD3若“x，cosxm”是真命题，则实数m的最小值为（）ABCD4在边长为1的正三角形ABC中，设D，E分别为AB，AC的中点，则=（）ABCD05已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A与直线BC和直线A1B1都平行B与
2、直线BC和直线A1B1都垂直C与直线BC平行且直线A1B1垂直D与直线BC和直线A1B1所成角相等6设函数f（x）=sinxcos2x，则下列结论中错误的为（）A点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心B直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴C是函数y=f（x）的周期D函数y=f（x）的最大值为17已知正实数a，b满足a2b+40，则u=（）A有最大值为B有最小值为C没有最小值D有最大值为38如图，在三棱锥PABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M在平面PBC内，且AM=7，设异面直线AM与BC所成角为，则cos的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共7小
3、题，多空题每题6分，单空题每题4分.、共36分.9已知全集为R，集合A=x|x22x0，B=x|1x3，则RB=，AB=10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是11设等差数列an的前n项和Sn=n2+bn+c（b，c为常数，nN*），若a2+a3=4，则c=，b=12已知函数f（x）=，则f（f（2）=，不等式f（x3）f（2）的解集为13已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量=x+y，x，yR，若x+2y=2，则|的最小值为14平面直角坐标系xOy中，直线y=5与抛物线C：x2=2py（p0）交于点A，
4、B，若OAB的垂心为C的焦点，则p的值为15若函数f（x）=（2x2ax6a2）ln（xa）的值域是0，+），则实数a=三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1（）求B；（）若=3，求b的取值范围17如图，在菱形ABCD中，BAD=60，平面BDEF平面ABCD，四边形BDEF是正方形，点M在线段EF上， =（）当=，求证：BM平面ACE；（）如二面角ABMC的平面角的余弦值为，求实数的值18已知a0，bR，函数f（x）=4ax22bx
5、a+b的定义域为0，1（1）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（2）设f（x）的最大值和最小值分别为M和m，求证：M+m019如图，椭圆C： +=1（ab0）的左焦点为F1（1，0），离心率是e，点（1，e）在椭圆上（）求椭圆C的方程；（）设点M（2，0），过点F1的直线交C于A，B两点，直线MA，MB与直线x=2分别交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值20已知数列an，a1=a（aR），an+1=（nN*）（1）若数列an从第二项起每一项都大于1，求实数a的取值范围；（2）若a=3，记Sn是数列an的前n项和，证明：Snn+2015-2016学年浙江省台州市
6、高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1“a4”是“a216”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a216得a4或a4，则“a4”是“a216”的充分不必要条件，故选：A2已知点（2，1）在双曲线C：=1（ab0）的渐近线上，则C的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，运用双曲线的离心
7、率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线C：=1（ab0）的渐近线方程为y=x，由题意可得=1，即a=2b，c=a，可得e=故选：D3若“x，cosxm”是真命题，则实数m的最小值为（）ABCD【考点】全称命题【分析】由x的范围求出cosx的范围，然后结合“x，cosxm”是真命题求得m的最小值【解答】解：当x，时，cosx，又“x，cosxm”是真命题，m，即实数m的最小值为故选：C4在边长为1的正三角形ABC中，设D，E分别为AB，AC的中点，则=（）ABCD0【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把，用基底表示，代入，展开得答案【解答】解：如图，=（）（）=（）（）=故选
8、：B5已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A与直线BC和直线A1B1都平行B与直线BC和直线A1B1都垂直C与直线BC平行且直线A1B1垂直D与直线BC和直线A1B1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CBAB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直，则CBAB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线
9、AB所成角相等，与直线BC和直线A1B1所成角相等，正确故选：D6设函数f（x）=sinxcos2x，则下列结论中错误的为（）A点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心B直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴C是函数y=f（x）的周期D函数y=f（x）的最大值为1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】对于A选项，用中心对称的充要条件，直接验证f（2x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；对于B选项，用轴对称的条件直接验证f（x）=f（x）成立与否即可判断其正误；对于C选项，用周期函数的定义直接验证f（x+）=f（x）成立与否即可判断其正误；对于D选项，利用三角函数
10、的性质即可直接判断【解答】解：A、f（2x）+f（x）=sin（2x）cos2（2x）+sinxcos2x=sinxcos2x+sinxcos2x=0，点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故A正确；B、f（x）=sin（x）cos2（x）=sinxcos2x=f（x），f（x）关于直线x=对称，故B正确；C、f（x+）=sin（+x）cos2（+x）=sinxcos2x=f（x），不是函数y=f（x）的周期，故C错误；D、sinx1，1，cos2x1，1，可得f（x）=sinxcos2x的最大值为1，故D正确故选：C7已知正实数a，b满足a2b+40，则u=（）A有最大值为B有最小
11、值为C没有最小值D有最大值为3【考点】基本不等式【分析】a2b+40，可得ba2+4，a，b0可得，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a2b+40，ba2+4，a，b0a+ba2+a+4，u=33=33=，当且仅当a=2，b=8时取等号故选：B8如图，在三棱锥PABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M在平面PBC内，且AM=7，设异面直线AM与BC所成角为，则cos的最大值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】取BC中点N，连结AN，PN，则可证PAN是等边三角形，过A作平面PBC的垂线AO，则O为PN的中点，求出AO的长，利用勾股定理可得出OM的
12、长，即M的轨迹以O为坐标原点建立空间坐标系，设M的坐标（x，y，0），求出的坐标，利用向量求出夹角，根据x，y的范围得出cos的最值【解答】解：取BC中点N，连结AN，PN，AB=AC=PB=PC=10，BC=12，AN=PN=8，PA=8，PAN是等边三角形，ANP=60ANBC，PNBC，ANP为二面角ABCP的平面角过A作AO平面PBC，连结OM，则O为PN的中点，ON=PN=4，AO=4OM=1M的轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆以平面PBC内过O点平行于BC的直线为x轴，以PN为y轴，以OA为z轴建立空间直角坐标系如图则A（0，0，4），B（6，4，0），C（6，4，0），设M（x，
13、y，0），则x2+y2=1=（x，y，4），=（12，0，0）|=7，|=12， =12xcos=当x=1时，cos取得最大值故选A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分.、共36分.9已知全集为R，集合A=x|x22x0，B=x|1x3，则RB=（，13，+），AB=（2，3）【考点】交集及其运算；补集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，由B及全集R，求出B的补集，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即A=（，0）（2，+），全集为R，B=（1，3），RB=（，13，+），则AB=（2，3），故答案为：（，13，+
14、）；（2，3）10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是72，表面积是120【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为： =12V=Sh=612=72S表面=2S底+S侧面=212+6（6+5+5）=12011设等差数列an的前n项和Sn=n2+bn+c（b，c为常数，nN*），若a2+a3=4，则c=0，b=2【考点】等差数列的通项公式【
15、分析】由等差数列的前n项和是不含常数项的一次或二次函数，可得c=0，再由a2+a3=S3S1列式求得b值【解答】解：数列an是等差数列，且前n项和Sn=n2+bn+c，c=0，则Sn=n2+bn，又a2+a3=S3S1=9+3b1b=4，b=2故答案为：0，212已知函数f（x）=，则f（f（2）=，不等式f（x3）f（2）的解集为x|x或x5【考点】其他不等式的解法；函数的值【分析】根据分段函数的解析式直接代值计算即可求出f（f（2），分类讨论，即可求出不等式f（x3）f（2）的解集【解答】解：f（2）=，f（）=，f（f（2）=，当x31时，即x4时，解得x5，当x31时，即x4时，x3，
16、解得x，综上所述不等式f（x3）f（2）的解集为x|x或x5故答案为：，x|x或x513已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量=x+y，x，yR，若x+2y=2，则|的最小值为1【考点】平面向量数量积的运算【分析】计算，将x=22y代入得到关于y的函数，求此函数的最小值【解答】解： =cos=.2=x2+y2+2xy=x2+y2+xyx+2y=2，x=22y2=（22y）2+y2+（22y）y=3y26y+4=3（y1）2+1当y=1时， 2取得最小值1|的最小值为1故答案为：114平面直角坐标系xOy中，直线y=5与抛物线C：x2=2py（p0）交于点A，B，若OAB的垂心为C的焦点，则p的
17、值为2【考点】抛物线的简单性质【分析】将y=5代入抛物线的方程，可得A，B的坐标，求得抛物线的焦点坐标，再由垂心的性质可得AFOB，即有kAFkOB=1，再由斜率公式，解方程即可得到p的值【解答】解：由y=5代入抛物线C：x2=2py可得，A（，5），B（，5），由抛物线x2=2py可得焦点为F（0，），由OAB的垂心为C的焦点，可得AFOB，即有kAFkOB=1，即为=1，解方程可得p=2故答案为：215若函数f（x）=（2x2ax6a2）ln（xa）的值域是0，+），则实数a=或1【考点】函数与方程的综合运用；函数的值域【分析】根据函数与方程的关系先求出两个函数的零点，根据函数的值域得到在
18、定义域内两个函数的函数值同号，即可得到结论【解答】解：f（x）=（x2a）（2x+3a）ln（xa），由f（x）=0得x=2a，或x=，或x=a+1，若a=0，则f（x）=2x2lnx，则函数的值域为（，+），不满足条件若a0，则函数的定义域为xa，此时函数f（x）的零点为x=2a，x=a+1，设y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），要使函数f（x）的值域为0，+），则函数y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），则定义域（a，+）上函数值的符号相同，即两个函数的零点相等即2a=a+1，得a=1，若a0，则函数的定义域为xa，此时函数f（x）的零点为x=，x=a+1，设y=（x
19、2a）（2x+3a），y=ln（xa），要使函数f（x）的值域为0，+），则函数y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），则定义域（a，+）上函数值的符号相同，即两个函数的零点相等即=a+1，得a=，综上a=或a=1，故答案为：或1三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1（）求B；（）若=3，求b的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（I）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=，由
20、于f（B）=1，可得=1，B（0，），即可得出（II）由=3，可得ac=6再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出【解答】解：（I）f（x）=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=，f（B）=1，=1，即sin（2B+）=，B（0，），（II）=3，cacos=3，解得ac=6b2=a2+c22accosB=a2+c262ac6=6，解得bb的取值范围是17如图，在菱形ABCD中，BAD=60，平面BDEF平面ABCD，四边形BDEF是正方形，点M在线段EF上， =（）当=，求证：BM平面ACE；（）如二面角ABMC的平面角的余弦值为，求实数的值【考点】二面角的平面角及求
21、法；直线与平面平行的判定【分析】（）M是EF的中点，设ACBD=O，连结OE，则BMOE，由此能证明BM平面ACE（）以O为原点，OB，OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数的值【解答】证明：（）=，M是EF的中点，设ACBD=O，连结OE，则BMOE，又BM平面ACE，OE平面ACE，BM平面ACE解：（）以O为原点，OB，OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，A（0，0），B（1，0，0），C（0，0），M（21，0，2），=（1，0），=（22，0，2），=（1，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则， =0，取x=，得=（），设平面BCM的法向量=（
22、a，b，c），则，取x=，得=（），二面角ABMC的平面角的余弦值为，|cos|=，解得，或（舍）故实数的值为18已知a0，bR，函数f（x）=4ax22bxa+b的定义域为0，1（1）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（2）设f（x）的最大值和最小值分别为M和m，求证：M+m0【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）由题意可得f（0）0，f（1）0，0，01，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间0，1的关系，可得最值，即可证明M+m0【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x22bx1+b在0，1内有两个不同的零点，即有即为，解得
23、1b2或2b3；（2）证明：f（x）的对称轴为x=，当1时，区间0，1为减区间，可得M=f（0）=ba，m=f（1）=3ab，则M+m=2a0；当0时，区间0，1为增区间，可得m=f（0）=ba，M=f（1）=3ab，则M+m=2a0；当01时，区间0，为减区间，1为增区间，可得m=f（）=，若f（0）f（1），即b2a，可得M=f（1）=3ab，M+m=a0；若f（0）f（1），即2ab4a，可得M=f（0）=ba，M+m=，由于2ab4a，可得M+m（a，2a，即为M+m0综上可得M+m0恒成立19如图，椭圆C： +=1（ab0）的左焦点为F1（1，0），离心率是e，点（1，e）在椭圆上（
24、）求椭圆C的方程；（）设点M（2，0），过点F1的直线交C于A，B两点，直线MA，MB与直线x=2分别交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；（）设出过点F1 的直线AB为x=my1，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q的纵坐标，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值【解答】解：（）由题意可得，解得a2=2，b2=1，椭圆方程为；（）设过点F1 的直线AB为x=my1，代入椭圆方程，得（m2+2）y22my1=0，设A（x1，y1），B（x2，
25、y2），则，由M，A，P三点共线，得，同理，则MPQ的面积=6故当m2=7时，MPQ面积的最大值为620已知数列an，a1=a（aR），an+1=（nN*）（1）若数列an从第二项起每一项都大于1，求实数a的取值范围；（2）若a=3，记Sn是数列an的前n项和，证明：Snn+【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由题意可得当n2时，an+1=22=1，所以只需a2=1，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当n4时，an1（a31）（）n3，即有an1+（a31）（）n3=1+（）n3，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，可得Snn+；再验证n=1，2，3也成立【解答】解：（1）数列an从第二项起每一项都大于1，可得当n2时，an+1=22=1，所以只需a2=1，解得a1或a2：（2）证明：由（1）可得，当n2时，an+11=1=（an1），即有当n4时，an1（a31）（）n3，即有an1+（a31）（）n3=1+（）n3，此时Sn3+5+（1+）+1+（）+1+（）n3=n+=n+ 1（）n2n+，易证，当n=1，2，3，Snn+成立综上可得，对任意的正整数n，均有Snn+2016年7月30日
