1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十六抛物线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.经过抛物线y2=12x的焦点F,作圆(x-1)2+(y-2)2=8的切线l,则l的方程为()A.x+y-3=0B.x+y-3=0或x=3C.x-y-3=0D.x-y-3=0或x=3【解析】选C.抛物线y2=12x的焦点F(3,0),圆的圆心为(1,2),圆的半径为2,设切线l的方程为x=my+3,则(1,2)到切线l的距离d=2,解得m=1.所以切线l的方程为x-y-3=0.2.已知抛物线y2
2、=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,|PF|=3,则直线AF的斜率为()A.B.-C.D.-【解析】选B.如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),由|PF|=3,得|PA|=3,则xP=2,代入y2=4x,得yP=2.所以A(-1,2),所以kAF=-.3.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|=()A.B.C.D.【解析】选C.由抛物线方程y2=4x,知焦点F(1,0),准线l:x=-1,如图,设l与x轴交点为K,过B作BMl,交l于M,则易知BMKF,所以ABMAFK,设|
3、BF|=m,由=3,可知|AB|=2m,所以|KF|=|AF|=m,又由方程知|KF|=2,所以m=2,即m=,所以|AB|=2m=.4.已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为()A.3B.2C.4D.2【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).5.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂
4、线,垂足为M,若|PM|=4,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为世纪金榜导学号()A.B.C.D.2【解析】选C.设P(x0,y0),依题意可知抛物线准线x=-1,所以x0=4-1=3,所以y0=2,所以P(3,2),F(1,0).所以直线PF的斜率为k=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.抛物线y2=2x的准线方程是_,若此抛物线上一点M到此抛物线焦点F的距离为1,则点M的横坐标为_.【解析】抛物线y2=2x的准线方程是x=-,设M的横坐标为x0,由抛物线的定义可得x0+=1,所以x0=.答案:x=-7.已知点P(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点
5、,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=_.【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=+=+=+=+=-1.答案:-18.已知抛物线y2=2px(p0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若MAB的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为_.世纪金榜导学号【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设A(x1,
6、y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由MAB的内切圆圆心为(1,t),可得kMA+kMB=+=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020杭州模拟)抛物线y2=2px(p0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.(1)求p的值.(2)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若AMB的面积是BMC面积的,求直线MB的方程.【解析】(1)设M(x0,-p),则(-p)2=2px0,x0
7、=,由抛物线定义,得x0-=2,所以p=2,x0=1.(2)由(1)知抛物线方程为y2=4x,M(1,-2).设A,B,C(y1,y2,y3均大于零),MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次为x1,x2,x3.当MBx轴时,直线MB的方程为x=1,则x1=0,不合题意,舍去.MB与x轴不垂直时,kMB=,设直线MB的方程为y+2=(x-1),即4x-(y2-2)y-2y2=0,令y=0得2x2=y2,同理2x1=y1,2x3=y3,因为x1,x2,x3依次组成公差为1的等差数列,所以y1,y2,y3组成公差为2的等差数列.设点A到直线MB的距离为dA,点C到直线MB的距离为dC,因为SBMC=
8、2SAMB,所以dC=2dA,所以=2得|y2+4|=2|y2|,即y2+4=2y2,所以y2=4,所以直线MB的方程为:2x-y-4=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决(1)同上.(2)由(1)知抛物线方程为y2=4x,M(1,-2).由题意,设MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次为t-1,t,t+1.设A(x1,y1),C(x2,y2)(y1,y2均大于零).当MBx轴时,直线MB的方程为x=1,则x1=0,不合题意,舍去.MB与x轴不垂直时,kMB=,设直线MB的方程为y+2=(x-1),即2x-(t-1)y-2t=0,同理直线MA的方程为2x-(t-2)y-2(t-1)=
9、0,由,得y2-2(t-2)y-4t+4=0,则-2y1=-4t+4,所以同理,设点A到直线MB的距离为dA,点C到直线MB的距离为dC,因为SBMC=2SAMB,所以dC=2dA,所以=2化简得|2t+4|=2|2t|,即t=2,所以直线MB的方程为:2x-y-4=0.10.(2019全国卷)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.世纪金榜导学号【解析】(1)设D,A(x1,y1),则=2y1.由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1
10、.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=,d2=.因此,四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).设M为线段AB的中点,则M.由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1
11、.当t=0时,S=3;当t=1时,S=4.因此,四边形ADBE的面积为3或4.(20分钟40分)1.(5分)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.抛物线的标准方程为y2=8x,则抛物线的准线方程为x=-2.又因为点P到y轴的距离是2,则点P到准线的距离为4,根据抛物线的定义可得:点P到该抛物线焦点的距离是4.2.(5分)抛物线y=x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.B.C.3D.2【解析】选D.因为点M到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的
12、焦点的距离|MF|,则d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线-=1的距离.由题意知F(0,1),所以(d1+d2)min=-1=2.3.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|=()A.8B.4C.6D.3【解析】选D.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=2,所以|PQ|=3d,所以直线PF的斜率为2,因为F(1,0),所以直线PF的方程为y=2(x-1),与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),所以|QF|=d=1+2=3.4.(12分)已知点M为直线l1:x=-1上的动点,N,过M作直线l1的垂线l,l交MN
13、的中垂线于点P,记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线l2:y=kx+m与圆E:+y2=6相切于点D,与曲线C交于A,B两点,且D为线段AB的中点,求直线l2的方程.【解析】(1)由已知可得,=,即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离,故点P的轨迹是以N为焦点,l1为准线的抛物线,所以曲线C的方程为y2=4x.(2)设A,B,D,由得k2x2+x+m2=0,所以x1+x2=,所以x0=,y0=kx0+m=,即D,因为直线l2与圆E:+y2=6相切于点D,又圆心E(3,0),所以=6,且DEl2,从而+=6,kDE=-1,即:,整理可得=2,即k=,所以m=0,故直线l2的方程
14、为y=x或y=-x.5.(13分)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.(2)设Q(4,0),k0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且ACQC,求x2的取值范围.世纪金榜导学号【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直线l与抛物线E相切,则k0且=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,所以,所求的直线方程为y=-x-4.(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有
15、可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为k0,所以=64(k+1)2-64k20,则有x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,因为四边形OACB为平行四边形,则=+=(x1+x2,y1+y2)=,即C,因为ACQC,则kACkQC=-1.又kQC=,又kAC=kOB=k-,所以=-1,所以=k+2,又由k0,则=k+22+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,此时00,m0)交椭圆C:+=1于A,B两点,点E是线段AB的中点,连接EO并延长EO交椭圆C于点F.(1)设直线EF的斜率为k,求kk的值.(2)若k=,求FAB面积的最大值.世纪金榜导学号【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则E,将A,B点坐标代入椭圆方程,有+=1,+=1,-得+=0,即=-,即kk=-.(2)由(1)知,当k=时,有k=-,则有直线l:y=x+m,直线EF:y=-x,已知m0,则有F,故点F到直线AB的距离d=,联立得方程组,即3x2+3mx+m2-3=0,则|AB|=,故FAB面积S=(2-m)=,令f(m)=(2-m)2(12-m2),则f(m)=2(2-m)(2m2-2m-12),令f(m)=0,则m=-或2(舍去)所以m=-时,f(m)有最大值243,即FAB面积的最大值为.关闭Word文档返回原板块
