1、单元评估检测（七）（第七章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012邵阳模拟)下列说法不正确的是( )(A)空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形(B)同一平面的两条垂线一定共面(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2.在ABC中，AB=2,BC=1.5,ABC=120,若使ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A) (B) (C) (D)3.下列命题：若A、B、C、D是空间任意四
2、点，则有|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、zR),则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44(2012株洲模拟)已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面,，有下列命题若l,m,且,则lm若l,m,且lm,则若m,n,m,n,则若,=m,n,nm,则n其中真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)15.(2011安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )(A)48 (B)32+(C)48+
3、 (D)806如图，下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是( )(A) (B)(C) (D)7.如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)18.(2012珠海模拟)如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：点M到AB的距离为；三棱锥C-DNE的体积是；AB与EF所成的角是.其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(本大题共
4、7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011长沙模拟)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为_.(填你认为正确的图序号)10一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是_.11.(2012衡阳模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在上且N为B1B的中点，则为_.12.(2012益阳模拟)有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母，下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是_.13如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC
5、1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_14.(易错题)三棱锥SABC中，SBA=SCA=90，ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，给出以下结论：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_.15.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为，M,N分别是AC,BC的中点，则EM,AN所成角的余弦值等于_.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2011陕西高考)如图，在ABC中， ABC=60,BAC=90
6、,AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值.17.(12分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1,ACB=90,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CC1、AB的中点.(1)求证：CFBB1；(2)求四棱锥A-ECBB1的体积.18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=AD，E、F分别是PD、BC的中点 .(1)求证：AEPC；(2)求直线PF与平面PAC所成的角的正切值.19.(13分)(预测题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=
7、5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形.(1)求证：A1B平面AC1D；(2)求证:CE平面AC1D；(3)求二面角C-AC1-D的余弦值.20.(13分)(2011新课标全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD(1)证明：PABD；(2)设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高21.(13分)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)若点G在BC上，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证
8、：EM平面BCC1B1；(3)用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan答案解析1.【解析】选D.一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；对于D，把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.2.【解题指南】ABC绕直线BC旋转一周后所得几何体为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为V=V大圆锥-V小圆锥=r2(1+1.5-1)=.3.【解析】选C.中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a、b同向时，应有|
9、a|+|b|=|a+b|,错误;中a、b所在直线可能重合，错误；中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面，错误.4【解析】选C.中的直线l、m可能平行、相交或异面，故不正确；中由垂直于同一直线的两平面平行可得；中的,可能相交，故不正确；中由面面垂直的性质定理知正确.综上正确.5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图，根据直观图求得几何体的表面积.【解析】选C.由三视图知该几何体的直观图如图所示.几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2、下底长为4、高为4；另两个侧面是矩形，且宽为4、长为.所以S表=42+24+(2+4)42
10、+42=48+8.6【解析】选D.取前面棱的中点，证AB平行于平面MNP即可；可证AB与MP平行.7.【解析】选B.因为ABBD,面ABD面BCD，且交线为BD，故有AB面BCD，则面ABC面BCD，同理CD面ABD，则面ACD面ABD，因此共有3对互相垂直的平面.8.【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为，正确，而,正确，AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，正确.9【解析】由正视图及侧视图可知，该几何体可由圆柱及四棱柱组成，故俯视图可能为或.答案：10【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】选D.易求得球的半径为2
11、，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a，则有，故棱柱的体积.故选D.11.【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),点M在(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),得M(),答案：12.【解析】因为正方体的骰子共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，又与标有S的面相邻的面有四个，由图可知，这四个平面分别标有H、E、O、P四个字母，故能说明S的反面是D，翻转图使P调整到正前面，S调整到正左面，则O为正下面，所
12、以H的反面是O.答案：O13【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD=C1D=，由BC1D是面积为6 的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为.答案：14.【解析】由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C 到平面SAB的距离,为a，正确答案:15.【解析】设AB=2，作CO平面ABDE,OHAB，则CHAB，CHO为二面角C-AB-D的平面角,CH=,OH=CHcosCHO=1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN=EM=CH=.,.故EM,AN所
13、成角的余弦值为.答案: 16.【解析】(1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDC=D，AD平面BDC，AD平面ABD平面ABD平面BDC.(2)由BDC=90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0,)，E()，与夹角的余弦值为.17.【解析】(1)三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,BB1平面ABC，又CF平面ABC，CFBB1.(2)三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，BB1平面ABC，又AC平面ABC
14、，ACBB1,ACB=90,ACBC,BB1BC=B.AC平面ECBB1，,E是棱CC1的中点，EC=AA1=2，,.18.【解析】方法一：(1)因为PA底面ABCD，所以PADC因为底面ABCD是正方形，所以ADDC.ADPA=A,故DC平面PAD,AE平面PAD，所以AEDC，又因为PA=AD,点E是PD的中点,所以AEPD，PDDC=D，故AE平面PDC，PC平面PDC，所以AEPC.(2)连接BD，过点F作FHAC于点H，连接PH，由F是棱BC的中点，底面是正方形，可得FHBD,FH=BD,又由PA底面ABCD得到PAFH，ACPA=A，故FH平面PAC，所以FPH为直线PF与平面PA
15、C所成的角,设AD=1，得到，在RtPAH中，.方法二：以A为原点，分别以的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，设PA=AD=1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),(1)点E、F分别是PD、BC的中点,E(0，)，F(1，0).=(0,),=(1,1,-1)，,所以AEPC.(2)连接BD，由PA底面ABCD得到PABD，ACBD，ACPA=A，BD平面PAC.取平面PAC的一个法向量=(-1，1，0)，设直线PF与平面PAC所成的角为,=(1,-1),cos=,故tan=.19.【解析】(1)连接A1C,与AC1交于O点，连接
16、OD.因为O，D分别为AC1和BC的中点,所以ODA1B.又OD平面AC1D，A1B平面AC1D,所以A1B平面AC1D.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,又AD平面ABC,所以BB1AD.因为AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC.又BCBB1=B,所以AD平面B1BCC1.又CE平面B1BCC1,所以ADCE.因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC,BB1的中点,所以RtCBERtC1CD,CC1D=BCE.所以BCE+C1DC=90.所以C1DCE.又ADC1D=D,所以CE平面AC1D.(3)如图，以B1C1的中点G为原点，建立空间直角坐标系.则A(
17、0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C1(-3,0,0).由(2)知CE平面AC1D，所以=(6,-3,0)为平面AC1D的一个法向量.设=(x,y,z)为平面ACC1的一个法向量,=(-3，0，-4)，=(0，-6，0).由可得令x=1,则y=0,.所以.从而.因为二面角C-AC1-D为锐角,所以二面角C-AC1-D的余弦值为.20.【解析】(1)因为DAB=60，AB=2AD,由余弦定理得BD=AD,从而BD2+AD2= AB2，故BDAD,又PD底面ABCD，可得BDPD,又PDAD=D,所以BD平面PAD,故 PABD.(2)如图，作DEPB，垂足为E.已知PD底面AB
18、CD，则PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD,因为BDPD=D,故BC平面PBD，所以BCDE.则DE平面PBC.由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，根据DEPB=PDBD，得，即棱锥D-PBC的高为.21.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则=(3,0,1)，=(0,3,2)，=(3,3,3)，所以，故，共面又它们有公共点B，所以E,B,F,D1四点共面(2)设M(0,0,z)，则，而=(0,3,2)，由题设得，得z=1因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，有=(3,0,0)，又=(0,0,3)，=(0,3,0)，所以从而MEBB1，MEBC又BB1BC=B,故ME平面BCC1B1(3)设向量=(x,y,3)且BP截面EBFD1，于是而=(3,0,1)，=(0,3,2)，得=3x+3=0，=3y+6=0，解得x=-1，y=-2，所以=(-1,-2,3)又=(3,0,0)且BA平面BCC1B1，所以和的夹角等于或-(为锐角)于是故tan=