1、2013版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值【高考新动向】一、考纲点击1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。二、热点、难点提示1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.【考纲全景透析】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，改变量x= x2
2、- x10当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。注：单调区间是定义域的子区间函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0
3、)=M对于任意xI，都有f(x)M存在x0I，使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相关提示：函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不
4、确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。奇函数在对称区间上的单调性奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。求函数单调性解题策略看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。【热点难点全析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10),因为y=log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在(，+)上
5、为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+).答案：(，+)(2)方法一：定义法：设x1x2-1,则x1x2-1,x2-x10,x2+10,即y1-y20,y1y2.在(-1,+)上是减函数.方法二：导数法：在(-1，+)上，y0且2x0 的定义域为 判断在上是增函数，下证明之：1分设任2分3分 x2x10，2x10，2x20则4分用数学归纳法易证 证略. 12分二、应用函数的单调性1应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取
6、值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2例题解析例1(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在0,2上的单调性或-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-m0.解得:m1.所以
7、m的取值范围为:(-,-2)(1,+).答案：(-,-2)(1,+)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在0,2上单调递减,函数y=f(x-2)在2,4上单调递增，因此,y=f(x)在0,2上单调递增，又f(-1)=f(1),01f(-1)f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为由图象知f(2)f(-1)f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g
8、(x) f(h(x)”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.例2已知函数f(x)对于任意a，bR,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)2恒成立，求实数n的取值范围【解析】(1)设x1,x2R，且x1x2，则x2-x10，f(x2-x1)1 ，f(
9、x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)- 10,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在R上是增函数.(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,不等式f(3m2-m-2)3即为 f(3m2-m-2)f(2).又f(x)在R上是增函数，3m2-m-22，解得因此不等式的解集为m|；(3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,f(0)=1. f(nx-2)+f(x-x2)2，即f(nx-2)+f(x-x2)-11，f(nx-2+x-x2)f(0)由(1)知nx-2
10、+x-x20恒成立，x2-(n+1)x+20恒成立 =-(n+1)2-420,注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值例1已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1；若x1x25，则0f(x1)f(x2)1，0
11、 f(x1)f(x2)1，0， F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 ，f(x1)f(x2)10 F(x2) F (x1)综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大小，或f(x1)/ f(x2)与大小。有时根据需要，需作适当的变形：如等。例2已知函数f(x)对于任意x，yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2) 求f(x)在-3，3上的最大值和最小
12、值思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。解答：(1)方法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2，则x=x1-x20，y=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(x),又x0时，f(x)0而x0，f(x)0，即y0,y=f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(x)又x0时，f(x)0，而x0，f(x)0，即y0），雨速沿E移动
13、方向的分速度为c（c，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|成正比，比例系数为；（2）其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100，面积S=时，（）写出y的表达式；（）设00,a1)的定义域和值域都是0,1，则a等于( )(A) () () (D)24.（2012龙岩模拟）函数的单调减区间为（ ）(A)（-,+）()(0,4)和(4,+)()(-,4)和(4,+)(D)（0，+）5.(2012杭州模拟)定义在R上的函数f(x)在区间(-,2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于x=0对称，则(
14、 )(A)f(-1)f(3)()f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)6.（预测题）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x0,则函数f(x)在a,b上有( )(A)最小值f(a) ()最大值f(b)()最小值f(b) (D)最大值f()二、填空题 (每小题6分，共18分)7.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是_.8.函数y=的最大值是_.9.(2012深圳模拟)f(x)= 满足对任意x1x2,都有成立，则a的取值范围是_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012青岛模拟)已知函数f(x)
15、=,(1)判断函数f(x)在区间(0,+)上的单调性并加以证明;(2)求函数f(x)的值域.11.（2012南平模拟）已知函数f(x)=ax2-2x+1.(1)试讨论函数f(x)的单调性；（2）若a1,且f(x)在1，3上的最大值为M（a）,最小值为N（a）,令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表达式.【探究创新】(16分)定义：已知函数f(x)在m,n(mn)上的最小值为t,若tm恒成立，则称函数f(x)在m,n(mn)上具有“DK”性质.(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在1,2上是否具有“DK”性质，说明理由.(2)若f(x)=x2-ax+2在a,a+1上具有“DK”性质，求
16、a的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由于函数y=在(-,0)和(0，+)上是递减的，且-30,因此函数y=在(-,0)和(0，+)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“”.2.【解析】选.由已知得-2,解得:m-8.3.【解析】选D.当0a1时，f(x)在0，1上为增函数，由已知有,得a=2,综上知a=2.4.【解析】选.由函数解析式知f(x)在(-,4)和（4，+）都是减函数，又 减区间有两个(-,4)和（4，+）.5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-,2)上是增函数，则其在(2，+
17、)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.由图象知，f(-1)f(3)，故选A.【方法技巧】比较函数值大小常用的方法(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.(2)利用数形结合法比较.(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.6.【解题指南】先探究f(x)在a,b上的单调性，再判断最值情况.【解析】选.设x1x2,由已知得f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2) +f(x2).又x1-x20.f(x1)f(x2).即f(x)在R上为减函数.f(x)在a,b上亦为减函数.f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),故选.7.【解析】f(x)=x2
18、-(a-1)x+5在(,+)上递增，由已知条件得,则a2,f(2)=11-2a7.答案：7,+)8.【解析】5x-20,x,y0.又y=(当且仅当x=时取等号).答案：9.【解析】由已知x1x2,都有0，知f(x)在R上为减函数，则需解得00时，f(x)=.设0x1x2,f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=,由0x1x2可得f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时，抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向上，对称轴为x=,函数f(x)在（-，）上为减函数，在(,+)上为增函数，当a0时，抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向下，对称轴为,函数f(x)在(-, )上为增函数，在（,+）上
19、为减函数.（2）f(x)=a(x-)2+1-,又a1,得13,N(a)=f()=1-.当12,即a1时，M(a)=f(3)=9a-5,g(a)=9a+-6.当23,即时，M（a）=f(1)=a-1,g(a)=a+-2,【探究创新】【解析】(1)f(x)=x2-2x+2,x1,2,f(x)min=11,函数f(x)在1,2上具有“DK”性质.(2)f(x)=x2-ax+2,xa,a+1，其对称轴为x= .当a，即a0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.若函数f(x)具有“DK”性质，则有2a总成立，即a2.当aa+1，即-2a0时，f(x)min=f()=-+2.若函数f(x)具有“DK”性质，则有- +2a总成立，解得a.当a+1,即a-2时，函数f(x)的最小值为f(a+1)=a+3.若函数f(x)具有“DK”性质，则有a+3a,解得a.综上所述，若f(x)在a,a+1上具有“DK”性质，则a的取值范围为2,+).高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )